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ex sur inégalité à démontrer

Posté par
roxane 01-11-04 à 20:56

bonjour,
j'ai besoin d'aide sur cet ex, si vous pouvez m'aidez svp...

1)montrer que: n N, x R-,

3$\Bigsum_{n=0}^N~\frac{x^k}{k!} e^x 3$\Bigsum_{n=0}^M~\frac{x^k}{k!}

avec N=2n+1  et M=2n

2)résoudre (E) (valabs(x))y'+(x-1)y=x²

pour la 2)j'ai commencé à résoudre mais le problème c'est pour le raccord par continuité et par dérivabilité, jpense qu'on doit se servir du 1) à ce moment là?

Posté par
franzre : ex sur inégalité à démontrer 01-11-04 à 21:08

1) Ca se montre très simplement par récurrence (on dérive e^x-\Bigsum_{k=0}^{2n+2 ou +3}\frac{x^k}{k!} et la nullité de la fonction en 0 donne le signe sur \mathbb{R}^-

2) sur quel intervalle dois-tu résoudre ton équation différentielle ?

Posté par
franzre : ex sur inégalité à démontrer 02-11-04 à 03:31

Par les techniques classiques  (équation homogène + variation de la constante) je trouve
Sur \mathbb R^- y(x)=x+2+\frac 2 x + k_1 \frac {e^x} x
Sur \mathbb R^+ y(x)=x + k_2 x.e^{-x}

Si on cherche une solution sur \mathbb R
la continuité en 0 implique \lim_{x \to 0^-}\frac {2+k_1 e^x} x existe d'où k1=-2
Dans ce cas grâce au 1) on montre que \lim_{x \to 0^-}y(x)=0 et que \lim_{x \to 0^-}y^'(x)=0
L'existence d'une solution sur \mathbb R implique d'existence d'un k2 tel que \lim_{x \to 0^+}y(x)=0 et que \lim_{x \to 0^+}y^'(x)=0
La première condition est vérifiée \forall k_2 \in \mathbb R. La seconde conduit à k2=-1.

L'unique solution de l'équa diff sur est
f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}   
   0 \rightarrow 0\\ x \rightarrow \left{\array{x+2+\frac {2 - 2 e^x} x \hspace{10} {\forall x < 0} \\ x - x e^{-x}\hspace{10} {\forall x > 0}}

Posté par
roxanere : ex sur inégalité à démontrer 02-11-04 à 12:39

salut frantz,
merci pour ton aide,

l'équa diff est bien à résoudre sur R.

il y plusieurs (même bcp) points que je n'ai pas compris, si tu pouvais m'expliquer stp?


1)pour la récurrence, je suis bloquée j'arrive pas à étudier le signe de la dérivée dont tu parle; je trouve e^x-(1/(k-1))x^(k-1)
la somme va de 0 à 2n+3.


2) j'ai pas compris comment tu trouves les solutions particulières grace à la méthode de la variation de la constante, je trouve pas pareil.

j'ai pas compris non plus comment tu trouve la limite de y grace au 1) qd x tend vers 0-.

voilà ca fé bcp de truc que j'ai pas compris,dsl!

Posté par
franzre : ex sur inégalité à démontrer 02-11-04 à 17:38

Attention à ta somme. Quand on dérive le terme d'indice k=0, on obtient 0 ( (-1)! n'a pas de sens).

Si tu poses
f_n(x)=e^x-\Bigsum_{k=0}n \frac{x^k} {k!}

On a les 2 propriétés
P1 :   \forall n \in {\mathbb N}\;,\; f_n^'(x)=e^x-\Bigsum_{k=1} \frac{x^{k-1}} {(k-1)!}=f_{n-1}(x)
P2 :   \forall n \in {\mathbb N}\;,\; f_n(0)=0


Hypothèse de récurrence  : sur {\mathbb R}^-
f_{2n} est positive
f_{2n+1} est négative

(je te laisse l'initialisation qui ne pose pas de souci particulier).
D'après la propiété P1

\forall x\in {\mathbb R}^-\;,\; f^'_{2n+2}(x)=f_{2n+1}(x) \le 0
f2n+2 est décroissante sur {\mathbb R}^- donc
\forall x\in {\mathbb R}^-\;,\; f_{2n+2}(x) \ge f_{2n+2}(0)=0

idem pour

\forall x\in {\mathbb R}^-\;,\; f^'_{2n+3}(x)=f_{2n+2}(x) \ge 0
f2n+3 est croissante sur {\mathbb R}^- donc
\forall x\in {\mathbb R}^-\;,\; f_{2n+2}(x) \le f_{2n+2}(0)=0


La propriété est héréditaire

Posté par
franzre : ex sur inégalité à démontrer 02-11-04 à 17:53

Il faut résoudre deux équations différentielles

sur {\mathbb R}^- : -xy'+(x-1)y=x² (1)
sur {\mathbb R}^+ :  xy'+(x-1)y=x² (2)

Equations homogène
(1') \frac {y^'}y=1-\frac 1 x d'où
y=k\exp\[x-\ln(x)\]=k \frac{e^x} x

(2') \frac {y^'}y=-1+\frac 1 x d'où
y=k\exp\[-x+\ln(x)\]=k x e^{-x}

Solutions particulières par variation de constante
(1) sur {\mathbb R}^-
on pose y=k(x) \frac{e^x} x
Tu dois tomber sur
(1'') -k^'(x)e^x=x^2 soit k^'(x)=-x^2.e^{-x}

un double intégration par parties donne
k(x)=\(x^2+2x+2\)e^{-x}


Idem sur {\mathbb R}^+

Posté par
roxanere : ex sur inégalité à démontrer 02-11-04 à 20:27

1)pour l'hypothèse de récurrence j'ai le signe inverse: f(2n+1)(x)0
f(2n)(x)0
ce qui fait que j'obtiens le contraire!

2)je tombe pas sur -k'(x)e^x² mais k'(x)e^x=x^3
d'après le cours, k'x)=x²e(lnx-x)+a=x^3e^-x+a aR

car k est une primitive de x²e^A
avec A=lnx-x.

Posté par
franzre : ex sur inégalité à démontrer 02-11-04 à 20:39

Pour la récurrence, j'ai rédigé un peu vite
tu as raison
f(2n+1)(x)0
f(2n)(x)0
mais le principe reste le même

Posté par
franzre : ex sur inégalité à démontrer 02-11-04 à 20:49

Pour la 2° partie
y^'(x)=k^'(x)\frac {e^x} x + k(x)\[\frac {e^x} x -\frac {e^x} {x^2}\]
Quand tu réinjectes dans (1)

-x.y^'(x) + (x-1)y(x) = - k^'(x) {e^x} +k(x)\[-{e^x} +\frac {e^x} {x}\] + (x-1).k(x)\frac {e^x} x =- k^'(x) {e^x}=x^2

Posté par
roxanere : ex sur inégalité à démontrer 02-11-04 à 21:19

si f(2n+1)0, alors f'(2n+2)0 dc f(2n+2) (x) croissante et
f(2n+2)(x)0, or on doit obtenir le contraire.

ok pour la 2) merci!

Posté par
franzre : ex sur inégalité à démontrer 03-11-04 à 09:49

Je reprends ton message:
si f(2n+1)0, alors f'(2n+2)0 dc f(2n+2) croissante

pour tout x de {\mathbb R}^- ,
x 0              donc si f(2n+2) (x) croissante
f(2n+2)(x)f(2n+2)(0)
f(2n+2)(x)0

Posté par
roxanere : ex sur inégalité à démontrer 03-11-04 à 13:36

euh oui dsl on obtient f(2n+2)(x)0

mais pourtant, on doit obtenir f(2n+2)0, non?

Posté par
franzre : ex sur inégalité à démontrer 03-11-04 à 14:27

non car comme je t'ai dit je me suis fourvoyé

il faut montrer que f(2n+2)(x)0 et f(2n+3)(x)0

Posté par
roxanere : ex sur inégalité à démontrer 03-11-04 à 15:38

ok, merci!


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