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Examen de probabilités, L3 mathématiques.

Posté par
mak_le_ouf 20-06-08 à 17:27

Bonjour,

Voici les énoncés des 2 exercices qui me posent problème:

Exercice1

Soient X1 ,...,Xn des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre >0.

1) Calculer la loi de max{i=1...n} Xi
2) Calculer la loi de min{i=1...n} Xi

Je ne vois pas du tout comment procéder. Est ce qu'on fixe X_i comme étant le max et on intègre par rapport aux n-1 autres variables en utilisant l'indépendance.

Exerice 2

Soient X1, X2, des variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson 1, 2

1) Calculer la loi de X1+X2
2) Calculer la loi conditionnelle de X1[sub/] sachant X[sub]1+X2


Pour la question 1 je n'ai pas eu de soucis:
\sum_{i=0}^k P(X_1=i,X_2=k-i)=...=Poisson(1+ 2)

Pour la question 2 j'utilise la formule des probas conditionneslles: Mais je n'identifie aucune loi connue.. je m'attendais a avoir une binomiale.

Je vous remercie d'avance.

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 20-06-08 à 19:41

Bonsoir,

EX.1 1) On pose Y = max{Xi ; i=1...n}, on note F la fonction de répartition de chaque Xi [ donc F(X) = 1 - e-x] et G la fonction de répartition de Y . On peut calculer G :
G(y) = P[Yy] = P[X1y, ..., Xny] = indépendance des Xi=... =  (F(y))n = ... et la densité g(y) par dérivation ...

Pour l'ex.2 c'est bien la loi de X1 sachant X1 + X2 que tu cherches ?

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 20-06-08 à 21:55

Ex.2 2) : je trouve en effet une loi binomiale :

3$\rm P(X_1 = n| X_1+X_2 = s) = \(s\\n\) p^n(1-p)^{s-n}

où
3$\rm p = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 10:03

Pour l'exercice 2 cela confirme ce que j'avais trouvé. J'avais simplement oublié de mettre sous le meme exposant 1 et 1+1.

Pour l'exercice 1 j'aurais jamais pensé a faire ca. Mais ca m'a l'air d'être la bonne piste. Jvais faire le calcul et je reviens. Merci beaucoup PIL (j'ai vu tes réponses sur d'autres topics en proba et j'en attendais pas moins de toi! )

Merci encore

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 10:40

Je trouve pour la loi du max que Y suit une loi ayant pour densité d\mu_Y (y) = 1|_\mathbb{R^+} n \lambda e^{-\lambda y}(1-\lambda e^{-\lambda y})^{n-1} Avec 1|R+ la fonction caractéristique de R+

Je n'ai pas vérifier que l'integrale sur R+ valait 1 tout simplement parce que je ne savais pas le faire.

Merci

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 11:28

Salut,

Juste un détail : dY(y) = ...(1-e-y)n-1, tu as un de trop !
Inutile de vérifier par calcul que c'est une densité, c'est la dérivée d'une fonction de répartition.
Pour Z = min{Xi ; i = 1,...,n} tu peux utiliser le même principe : calculer d'abord la fonction de répartition.
Bon travail !

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 11:56


Oui bien sur je suis d'accord pour le \lambda en trop! (erreur de frappe!)

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 12:19

Bon je commence à comprendre l'utilité de cette fonction de répartition.
Voici le calcul que j'ai effectué pour la loi du min!

G_Z (z) = P(Z \le z) = 1 -P(Z > z) = 1 - P(Y_1 > z)... P(Y_n > z) \\ G_Z (z) =1 - (\int_z^{\infty} d\mu_Y (y) )^n = 1-(0+e^{-\lambda z})^n \\ G_Z (z) = 1 - e^{-n\lambda z}

Ainsi la loi de Z est d\mu_Z (z)=1|R^+ \lambda ne^{- \lambda nz}
ce qui est donc une loi exponentielle de parametre n\lambda

Je pense que c'est la bonne réponse..

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 12:37

Je bloque à nouveau sur deux exercices.

Voici l'énoncé du 1er exercice.

Soit (U_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de variables aléatoires independantes de Bernoulli de paramètre p.
Pour tout n on note Y_n=U_n U_{n+1} puis S_n = Y_1+...+Y_n

1) Pour tout n quelle est la loi de Y_n
2) A quelle condition sur n et m tels que 1\le n<m les variables aléatoires Y_n et Y_m sont elles indépendantes?
3) Calculer E[Y_n Y_m]. Calculer S_n/n
4) Montrer qu'il existe une constante C telle que pour tout n , Var[S_n] \le Cn
5) Démontrer que la suite S_n/n converge en probabilité vers une constante à préciser.


Pour la première question 1) je trouve que Y_n suit une loi de Bernoulli de paramètre p^2

2) Il suffit que n+1<m

3) Je ne sais pas si Y_n et Y_m sont indépendants.
Faut-il que je considère deux cas? Dans le cas où elles ne sont pas indépendantes je ne vois pas comment faire.

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 12:45

(Suite) j'ai la formule \sum_{\omega \in \Omega} Y_n Y_m P(\omega)

J'ai pensé que Y_n Y_m est défini sur \Omega à valeurs dans {{0,1}}. Mais je pense que je me complique la tache par cette méthode. Une piste comme pour l'exercice précedent m'aiderait beaucoup.

Merci PIL

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 17:43

Calcul de E(YnYm): tu as vu que si n+1< m les va sont indépendantes; le seul autre cas est n+1 = m puisque n<m par hypo. Alors  YnYm = YnYn+1 = Un(Un+12) Un+2 , dont tu trouves facilement la loi.
Que signifie "calculer Sn/n " ?  dois-tu trouver la loi de Sn/n ?

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 17:49

Non pas du tout j'ai C'est l'esperance de S_n/n.
Je vais suivre tes instructions pour E(Y_n Y_m).Merci

A tte a l'heure!

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 18:09

Je dois être une chèvre mais

E[U_n U_{n+1}^2 U_{n+2}] = E[U_n]E[U_{n+1}^2] E[U_{n+2}] = p^2 E[U_{n+1}^2]
Le problème c'est que avec une loi continue je sors l'artillerie avec changement de variable etc.. Mais pour les lois discretes je comprends pas..

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 18:11

En fait j'ai trouvé l'astuce de dire que comme Var(X)=E[X^2]-E[X]^2 et que je connais la variance je retrouve facilement le résultat.
Mais j'aimerais avoir une méthode plus générale..

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 18:21

Sinon pour le reste de l'exercice pour le calcul de E[S_n/n]
j'utilise la linéarité de l'espérance pour sortir 1/n et trouver (1/n) \sum_{i=1}^n E[Y_i]= np^2/n = p^2 . Je ne suis pas sur du résultat..

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 21-06-08 à 19:25

ton post de 18:09 : le calcul de E(X2) se fait directement :
- cas discret : E(X2) = x2 px
- cas absolument continu : E(X2) = x2 f(x) dx.
Ici on a d'ailleurs   Un+12 = Un+1, regarde les valeurs possibles et les proba. ...
Dans tous les cas E(Un+12) =  p  et  E(YnYn+1) = p3.

D'accord avec toi pour E(Sn/n) = p2.
Ensuite tu calculeras Var(Sn) avec  ta formule de 18:11.

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 00:25

Bonsoir Mr PIL,

Je doute que tu puisses me répondre avant d'aller me coucher mais je commence à avoir certains automatismes dans la résolution des exercices.
Pour en revenir à la variance de S_n

Je trouve que Var[S_n]= n p^2 (n p-1)

En effet pour le calcul de E[S_n^2] j'ai utiliser la linéarité de l'esperance en disant que :

E[S_n^2]= E\sum[_{{i,j}=1}^n Y_i Y_j]= \sum_{{i,j}=1}^n E[Y_i Y_j] \\ E[S_n^2]= \sum_{{i,j}=1}^n p^3 = n^2 p^3 (cf post de 19:25)

donc Var[S_n]= n^2 p^3 - n p^2 = n p^2(n p - 1)

Par contre je ne vois pas comment je peut montrer que Var[S_n] \le C n avec C constante et bien sûr l'inégalité étant vrai pour tout n.

Après je pense qu'il faut utiliser Markov et obtenir ainsi la convergence presque sure?

  Bonne nuit PIL

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 11:56

Bonjour,

D'accord avec E(Sn2) = E(YiYj).
Attention avec le calcul de E(YiYj) ; tu dois distinguer 3 cas :
1)  E(Yi2),
2)  E(YiYi+1),
3)  E(YiYj)  avec i+1 < j,
(il faut bien que ce que tu as fait précédemment serve à quelque chose ...).
Et n'oublie pas le carré dans E(Sn2) - E(Sn)2 !

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 13:00

Bonjour!

En effet oui j'ai raccourci un peu le calcul.. je vais corriger ca.

Merci

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 13:37

Bon je pense obtenir quelque chose de cohérent.
E[S_n^2] = \Bigsum_{i,j=1}^nE[Y_i Y_j] = \Bigsum_{i=1}^n E[Y_i^2]+ 2 \Bigsum_{i < j}^n E[Y_i Y_j] = n p^2 + 2 \Bigsum_{i=1}^n E[Y_i Y_{i+1}] + 2\Bigsum_{i < j+1}^n E[Y_i Y_j] \\ E[S_n^2] = n p^2 + 2n p^3 +p^2 n ( n+1) =

Si je ne me suis pas encore planté dans le calcul.. ca doit être ca.

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 13:39

Et donc ma constante serait C= p^2 + 2  p^3

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 14:59

Encore quelques erreurs :

1) La somme des E(YiYi+1) n'a que n-1 termes:
3$\rm \sum_{i=1}^{n-1} E(Y_i Y_{i+1}) = (n-1)p^3

2) La somme des E(YiYj), avec i+1 < j ,  a  (n-2)(n-1)/2  termes, et chaque terme vaut p4 puisqu'alors les va Yi et Yj  sont indépendantes.

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 15:56

Donc en définitif je trouve après correction:

n p^2 + 2 (n-1) p^3 +p^4 (n-1)(n-2) Cependant je n'ai pas l'idée pour trouver la minoration. Et surtout je ne vois pas a elle sert.

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 18:18

D'accord avec ton résultat pour E(Sn2).
Tu calculeras ensuite Var(Sn); tu vas constater que les termes en n2 se détruisent, ce qui te montrera que Var(Sn) est  < Cn avec C = cst.
Tu passes ensuite à Sn/n; tu connais  E(Sn/n) = p2  et tu calculeras Var(Sn/n).
Tu dois montrer que Sn/n  converge en probabilité vers une constante, c'est à dire qu'il existe une constante K telle que, quel que soit > 0, on a

3$\rm P( |\frac{S_n}{n} - K| > \epsilon ) \rightar 0

lorsque n.
Demande-toi d'abord quelle peut être cette constante K et utilise ensuite une inégalité où tu pourras appliquer la majoration précédente ...
Bon travail !

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 19:24

Du fait que \forall \epsilon > 0 , P(|\frac{S_n}{n} - E[\frac{S_n}{n}]| > \epsilon) < \frac{Var[\frac{S_n}{n}]}{\epsilon^2} \\ Var[\frac{S_n}{n}] = \frac{Var[S_n]}{n^2} < \frac{C}{n} \\

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 19:33

Ainsi avec E[\frac{S_n}{n}] = p^2

j'obtiens l'inégalité suivante:
\forall epsilon > 0 P(|\frac{S_n}{n} - p^2| > \epsilon) \le \frac{C}{n \epsilon^2} \\ \\

Et comme \lim_{n\to +\infty} \frac{C}{n \epsilon^2} = 0 \\ \\

J'obtiens la convergence presque sûre !

MERCI MERCI et encore MERCI. Mieux qu'une correction tu m'a permis de résoudre un problème type et de mettre en relief les lacunes que j'avais dans cette matière. Mon examen est a la fin de la semaine, je te tiendrais au courant de la façon dont ca c'est passé.
Bonne soirée

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 22-06-08 à 21:02

Bien joué !
J'aimerais bien savoir d'où provient cet exercice, si c'est d'un problème "concret"; le sais-tu ?
Tout de bon pour la suite !

Posté par
PILre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 23-06-08 à 01:03

Une remarque concernant ton post de 19:33  : il s'agit de la convergence en probabilité !

Posté par
mak_le_oufre : Examen de probabilités, L3 mathématiques. 23-06-08 à 12:11

Bonjour PIL,

Oui, au temps pour moi, c'est la convergence en probabilité.
Cet exercice provient de l'examen de probabilité du 9 JUIN 2008, 1ère Session pour les L3 de mathématiques à l'Université Lyon1.


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