normalement tu dois fournir une preuve comme quoi tu as réfléchi à l'exercice avant de le poser ici !

paramètre C avec la représentation module - argument:
pour x dans C tu as : |x|=1 et arg(x) vit dans [-pi,pi] (paramétrage non injectif)

soit alors Un une suite de C : arg(Un) est une suite de [-pi,pi] donc par le théorème de Bolzano-Weierstrass, arg(Un) admet une valeur d'adhérence l donc Un admet une valeur d'adhérence exp(il) (à montrer plus soigneusement) donc C est compact.

montrons que C est connexe par arc : soit exp(ia) et exp(ib) deux éléments de C avec a < b dans [-pi,pi].
On pose g(t)= exp(i(a+(b-a)t)) sur [0,1]:
-g continue à valeur dans C
-g(0)= exp(ia) et g(1)=exp(ib)

donc C est connexe par arc donc connexe.

h est continue or l'image continue d'un compact est un compact et l'image continue d'un connexe est un connexe donc im h est un compact connexe de R donc un segment
de plus im h est inclus dans [-1,1] donc im h est un segment de [-1,1]

il est nécessaire pour la question 3 de montrer que im h contient 0 : soit p dans C
h(p) = det (p, g(p)) = det (gog(p),g(p)) = -h(g(p))
si h(p) = 0 le résultat est montré, si h(p) <> 0 alors im h contient deux points de signes <> donc par connexité de im h, 0 est dans im h.

A partir de là la dernière question est évidente !

BONJOUR, j'ai pensé le fait que tout compact d'un espace vectoriel normée est équivalent à :fermée bornée alors la il est facile de le montrer que c'est un fermée car C est l'image réciproque d'un fermé ( le singleton 1) par une application continue il reste à montrer qui est bornée . pour la connexité je dis que toute boule férmé ou ouverte d'un espace vectoriel est connexe ce qui est le cas içi pour le reste je me suis bloquer