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Exemple de parties convexes
Bonjour à tous,
Je bloque sur deux questions d'un devoir, si vous pouviez éclairer ma lanterne, je vous en serais très reconnaissante!
On prend E=Rn
1) montrer qu'une partie S de E stable par demi somme (cad 
(x,y)
S2, (x+y)/2 S) n'est pas nécessairement convexe
2) montrer qu'une partie S de E stable par demi somme et fermée est une partie convexe de S
Ce que je ne comprends pas : le fait que ça soit ouvert ou fermé, qu'est ce que ça change? En effet, on montre que le segment [a,+
[ est convexe et pour moi, la stabilité par demi sommes fait que, quand on prend la moitié de la moitié de la moitié etc... d'un segment, on arrive à avoir tous les points du segment, donc on a un convexe.
Merci pour votre aide!
Bonjour,
Pour , les parties convexes de
sont les intervalles.
Que penses-tu par exemple de ? Est-il convexe ?
Pour la question 2)
En considérant un ensemble fermé et vérifiant la stabilité par demi-somme:
L'idée ici est de prendre deux points et
de
, et de montrer que pour tout
,
, en trouvant une suite d'éléments de
qui converge vers
, construite grâce aux demi-sommes.
As-tu une idée d'une telle suite ?
Bonsoir,
Merci pour ton aide, j'en ai bien besoin...
Voilà mon raisonnement par rapport à ce que tu m'écris:non, Q n'est pas convexe car par exemple sur le segment [3,4], l'élément 
n'appartient pas à Q et appartient pourtant au segment. Donc tous les segments reliant deux éléments de Q ne sont pas inclus dans Q.
Cela veut donc dire que, si E=R et A=Q, alors A est stable par demi somme mais n'est pas convexe pour autant. Mais je remarque que dans ce cas A=Q est dense dans E=R et donc A est non fermé.
--> Cela veut il dire que si A est dense dans E c'est à dire que dans tout voisinage d'un élément de E j'ai au moins un élément de A, alors forcemment j'ai des éléments de E/A qui seront inclus dans des segments dont les extrémités sont dans A et que dans ce cas A ne peut être convexe?
Autre question pour être sûre d'avoir bien compris : Cela veut il dire que pour que A soit dense dans un ensemble E non fermé, c'est que forcemment A est non fermé?
Cela veut il dire aussi que si A est fermé dans E alors A n'est pas dense dans E? Mais dans ce cas, comment faire la démo qu'une partie fermée stable par demi somme est convexe?
Merci d'avance et bonne soirée
Je viens de voir ta piste pour la question 2, j'y réfléchis ce soir et je te donne ma réponse demain!
Bonne soirée et merci encore
Je répondrai à ta question demain également;
Pardonne-moi encore, j'ai nommé E mon ensemble (dans mon post de 22:54), mais ici encore appelons le A, pour ne pas confondre avec E=R^n de l'énoncé...
Bonjour 
Alors pour ton message de 23:32,
ici tu as montré qu'il existe une partie de
, telle que
vérifie la stabilité par demi-somme sans être convexe.
Tu as donc répondu à la 1).
Pour clarifier un peu tes autres questions :
Une partie d'un espace topologique
est dense dans
si
(
est l'adhérence de
, c'est à dire le plus petit fermé de
contenant
).
D'après cette définition l'ensemble est fermé si et seulement si
.
Par conséquent la seule partie à la fois fermée et dense dans est
lui-même.
-> Une propriété majeure qui permet de définir une partie fermée, est qu'une partie de
est fermée dans
, si et seulement si pour toute suite d'éléments de
qui admet une limite dans
, alors cette limite est dans
.
C'est de cette propriété qu'il faut se servir pour montrer le 2) (cf mon dernier message)
C'est super sympa, merci vraiment pour tous ces éléments qui sont très clairs.
J'ai beaucoup cogité pour essayer de trouver une suite d'éléments de A qui convergent vers l dans E et montrer que si A est fermé, alors cette suite converge dans A et que donc l appartient à A. Mais j'ai beau tourner le problème dans tous les sens, je ne vois pas...
Les hypothèses :
* l appartient à [a,b] donc il existe
!
[0,1] tel que l=a+(1-)b.
* lE
* (a,b)A2
Construction de la suite :
Je ne vois pas comment introduire l dans la suite en faisant que les éléments de la suite appartiennent toujours à A... Avec la stabilité par la demi somme, je pourrai en effet construire des suites avec des coefficients du type 1/2n qui tendent vers 0 quand n tend vers +. Après je me suis dit qu'on pouvait introduire l en posant (x+y)/2=(x+l+y-l)/2 mais je ne vois pas comment procéder ensuite.... Il faut me donner un autre indice... Désolée mais je bloque vraiment là...
Merci!
Alors, alors
On considère une partie A fermée dans , stable par demi-somme.
Soient deux élément de
, montrons que
.
Voilà mon idée pour la démo (j'imagine qu'il y en a sûrement beaucoup d'autres):
L'idée est de se ramener à l'intervalle de
, par l'homéomorphisme:
Soit un point de
. Alors il existe
tel que
.
On considère les suites et
d'éléments de
définies par:
Pour :
- si , alors
et
.
- sinon, et
.
Je te laisse montrer que les suites et
convergent vers
.
Il te faudra maintenant montrer que les suites et
sont à valeurs dans
(une récurrence est possible).
Enfin il te faudra montrer que converge vers
, et donc que
.
Bonne soirée 
Bonjour,
une autre méthode.
Hypothèses: A fermé, A stable par la demi-somme
Supposons qu'il existe a et b deux éléments distincts de A et u élément de ]a,b[ . Comme A est fermé, son complémentaire
est ouvert,
par dichotomie réitérée Il existe une subdivision de [a,b]
tous éléments de A telle que
or donc
donc
contradiction. A est convexe
Merci pour tes suites yoyodada mais je n'aurais jamais trouvé toute seule! Donc c'est bon, j'ai tout rédigé merci pour ton aide!
Et merci pour l'autre idée de démo Domorea,je l'ai notée et c'est très intéressant de voir deux méthodos différentes!
Merci à vous deux!
Bonjour,
je me rends compte que je me suis compliqué la vie pour rien dans ma démonstration avec les suites.
Mon idée était de me ramener à [0,1] pour pouvoir utiliser l'ordre naturel de , mais on peut procéder ainsi:
On prend deux points de
fermé dans
stable par demi-somme, et
un point du segment
.
On note et
, et on définit les suites
et
d'éléments de
par:
si , alors
et
, et sinon on note
et
.
Ces suites sont bien à valeurs dans par propriétés de
.
On a donc pour tout ,
, et en prenant une norme
quelconque de
,
,
ce qui entraîne que admet
pour limite, et
.
Inutile donc de s'ennuyer à passer par ...
ça revient en fait au même puisque tu montres que tout point du segment [a,b] peut être atteint et dans le cas réel c'est a=0 et b=1, le reste de la démonstration est essentiellement la même.
Une autre façon de procéder est d'utiliser ton idée de se ramener à [0,1] (il suffit de paramatrer le segment [a,b] par bt+(1-t)a par exemple et de travailler uniquement avec les t).
Ensuite on montre facilement que tout point de [0,1] possède un développement binaire, donc par définition c'est la limite d'une suite de combinaisons de demi sommes de [0,1].
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