Bonsoir,

Tu as fait quelques essais ?

Coucou!
Bah en fait je ne sais pas par quoi commencer!

Essaie avec un hexagone par exemple.

Heu... un hexagone possède six côtés. Après je ne sais pas trop quoi faire...

Combien vaut l'angle au centre ?

hummm... 60°?

Ok, en généralisant ceci sur un polygone à n côtés, combien vaut l'angle au centre ?

Je pense qu'il vaut n angle ?

Non, comment as-tu trouvé l'angle au centre pour l'hexagone ?

Heu.. La construction d'un cercle se fait toujours avec le même rayon. (j'ai fait un dessin)
Et je trouve aussi qu'un triangle est équilatéral. Donc cela fait 60°.

Bon tu dois comprendre que l'angle au centre vaut 360/n

Pour un hexagone : 360/n = 360/6 = 60°

Pour un octogone : 360/n = 360/8 = 45°

As-tu compris cela ?

Ha merci beaucoup pour ton aide!
Donc pour l'angle au centre cela fait 360/n?

Oui mais c'est pas du tout terminé

Prenons un octogone par exemple.

L'angle au centre vaut 45°

Tu as donc 8 triangles isocèles.

Si on considère un de ces triangles, l'angle au sommet vaut 45°, combien valent les 2 autres angles ?

Ha d'accord! Pourrais-tu m'aider pour la suite?

je t'ai posé une question

Là je ne vois pas du tout je sais juste que la somme des angles d'un triangle isocèle vaut 180° mais à part ça ...

   Ton triangle isocèle en O :

              O






   A                    B



AOB = 45°

Que valent OAB et OBA en sachant qu'ils sont égaux ?

Merci pour ce schéma!
180 - 45 = 135 : 2 = 67.5? ça existe à virgule?

Si cela existe ça veut dire que depuis tout à l'heure je me cassais la tête pour rien alors que j'avais trouvé la bonne réponses!

Ok

Peux-tu dessiner un octogone, avec les diagonales de telle façon à voir les 8 triangles isocèle ? Ensuite nomme le centre O , ainsi que 3 côté qui se suivent, A, B, C

Dis-moi quand tu es prête.

C'est déjà fait!

Ok, nous allons calculer l'angle ABC

Es-tu d'accord pour dire qu'il vaut le double de l'angle OBA ? (car BO est la bissectrice de l'angle ABC)

oui je le suis. (ça fait un peu mariage mais bon...)

Combien vaut ABC alors ?

OBA/2 (il me semble que ce n'est pas la bonne réponse)

OBA*2 (désolé)

Ok donc 135° ( 2 * 67.5)

Tu remarque que l'angle de ton polygone vaut 180 - (360/n)

En effet, 180 - (360/8) = 180 - 45 = 135°

Car 135° représente la somme de OAB + OBA

As-tu compris jusque là ?

Parfait.

Donc on a démontré qu'un angle d'un polygone de n côté vaut 180 - (360/n)

Mais comme un polygone a n côtés, la somme de ses angles sera :

[180-(360/n)]n

Es-tu ok avec cela ?

Jusque là ça va.

Le problème est fini, il suffit simplement de simplifier un peu cette expression.

Commençons par 180 -

Il faut mettre au même dénominateur.

Ha j'espère que je peux faire ça tout de même!
360/2 - 360/n!

Tu n'a pas le même dénominateur.

Tu dois tout mettre sur n

ou la la la fatigue commence à se ressentir!
180n/n - 360/n

Ok, ce qui nous donne

Ok ?

ok

L'expression complète est : ()n

Il suffit juste de développer.

Que trouves-tu ?

je trouve: 180n²-360n/n²

Presque

C'est (180n2 - 360n)/n

Es-tu ok ?

tout à fait

Maintenant on simplifie par n et on obtient :

180n - 360

On met en évidence et on a le résultat final :

180(n - 2)

Je te remercie beaucoup Violoncellenoir de m'avoir accordé du temps et de la patience!

Mais c'était avec plaisir

En espérant que tu as un peu compris tout cela

Est-ce que tu pourrais m'écrire en détail la dernière étape s'il te plaît? je ne suis pas sur d'avoir bien saisie.

Laquelle ?

Lorsque tu simplifie par n, je ne sais pas comment tu as fait cela!

On a : (180n2 - 360n)/n  

Le dénominateur est n donc on divise tous les termes par n

180n2/n = 180n

et

360n/n = 360

Donc 180n - 360

Ha d'accord! Merci beaucoup encore une fois! Je te souhaite une bonne nuit et encore merci!