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Niveau Maths sup
exercice 2014
Posté par nono69
Bonsoir , j ai du mal a comprendre la correction de cet énoncé , j aurais besoin qu'on m'éclaire si possible merci .
Enonce : montrer que 2014 ne peut pas s'écrire comme la somme de deux carrés
Correction:
Par l'absurde, supposons qu’'on puisse écrire 2014 = n2 + m2, avec n et m dans N.
Alors en particulier 2014 = [8], c'est-à-dire
= 6 [8].
Mais si r parcourt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, alors modulo 8 prend les valeurs 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1.
En particulier modulo 8 ne peut prendre que les valeurs 0, 1, 2, 4, 5.
On aboutit donc à une contradiction : 2014 ne peut pas s'’écrire comme la somme de deux carrés.
j ai oublier de rajouter les signe de congruence à la place des egales pour
2014 =[8], c'est-à-dire
= 6 [8].
je ne sais pas pourquoi on choisit modulo 8
et je n ai pas compris aussi pourquoi modulo 8 ne peux prendre que les valeurs 0, 1, 2, 4, 5.
pourquoi on choisit modulo 8 : essaie de voir si on aboutit aussi facilement à une contradiction avec les nombres inférieurs à 8
pourquoi une somme de carrés ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1 ou 2 ou 4 ou 5 : parce que seuls 0, 1 , 4 sont des carrés modulos 8
et quand on additionne 0 +0 =0, 0+1 = 1, 0+4 = 4, 1+0 = 1, 1+1 = 2, 1+4=5, 4+0=4, 4+1=5, 4+4 = 0 (le tout modulo 8 bien entendu)
la somme de deux carrés ne peut donc être qu'un de ces résultats là
salut
nono69 @ 06-03-2018 à 15:48
que signifie r ?
connais-tu la division euclidienne ? (et ses notations classiques)
que signifie r ?
connais-tu les congruences ?
flight @ 04-03-2018 à 22:05
salut
pourquoi avoir choisit du modulo 8 ?
parce que ça permet de conclure
salut
pourquoi avoir choisit du modulo 8 ?
à savoir si n est une solution de l'équation diophantienne f(x) = 0
alors f(n) = 0 => f(n) = 0 [p] pour tout p
par contraposée : s'il existe p / f(n)
0 [p] alors f(n) 0
c'est ce qu'on utilise ici avec le bon p et tout le pb est de le trouver ...
cela se généralise avec plusieurs inconnues bien sur ...
alternative (qui n'utilise que des outils de primaire) :
1/ un nombre et son carré ont même parité
2/ donc m et n ont même parité
3/ donc m et n sont impairs (car 4 ne divise pas 2014)
4/ soit m = 2p + 1 et n = 2q + 1
donc
5/ or le produit de deux nombres consécutifs est pair
6/ et une somme de pairs est paire
7/ conclusion
A oui la deuxième alternative est beaucoup plus clair mais je ne comprend pas comment tu trouve pour E 1006
oui c est bon j ai réussit a détailler , mais quand tu dit que un nombre et son carré ont la même parité, tu l'applique en disant que m^2 et m ont la même parité et n^2 et n ont la même parité ?