Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exercice : Approximation de cos par un polynôme
Bonsoir, j'ai suis bloqué au milieu d'un exercice, j'y ai déjà passé un bout de temps. D'avance merci à ceux qui prendront la peine de me lire.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Enoncé :
1°) Déterminer, pour tout n => 0, la dérivée n-ième de cosinus.
2°) Ecrire le polynôme de Taylor P(4,0) de cosinus à l'ordre 4 en 0, puis montrer que, pour tout réel x, on a :
| cos(x) - P(4,0)(x) | <= |x| / 120
3°) En déduire un réel a tel que sur l'intervalle [-a;a] le polynôme P(4,0)(x) donne une valeur approchée de cos(x) à 10^-7 près ( au moins 6 décimales exactes ).
4°) Ecrire la formule de Taylor à l'ordre 3, en 0, pour la fonction cosinus. En déduire une valeur approchée rationnelle de cos(1/10), et estimer l'erreur comise ( en donner un majorant rationnel ).
5°) [ Mêmes questions pour cos(2/10) ]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mon début de raisonnement/mes résultats :
1°) Pour tout 'n' positif ou nul : cos(4n)(x) = cos(x)
cos(4n+1)(x) = -sin(x)
cos(4n+2)(x) = -cos(x)
cos(4n+3)(x) = sin(x)
2°)P(4,0)(cos(x)) = 1 - x^2/2 + x^4/24
Pour la suite, je doute que ce soit suffisant comme preuve :
D'après le théorème de Taylor :
| cos(x) - p(4,0)(x) | <= (M * | x - 0 |^5) / 5! avec M réel et strictement positif
Comme cos(x) est majorée par 1, alors pour M = 1, l'inégalité est toujours vraie.
3°) C'est ici que je bloque, je ne sais pas si je m'y prends bien :
Résoudre : |x|^5 / 5! <= 10^-7
Je ne mets pas la suite car cela fait intervenir une racine cinquième...
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Pouvez-vous m'éclairer? Merci
Salut franklin
1)Il y a une formule agréable qui résume tous tes résultats, c'est:
2)C'est faux, il faut vraiment mettre une puissance 5 à |x|.
Tu appliques la formule de Taylor-Lagrange et tu majores la valeur absolue de
par
.
3)Oui tu t'y prends bien!
Il faut que la distance entre cos(x) et le polynôme P(4,0)(x) soit inférieure à la précision demandée .
Par contre approcher un nombre à près c'est en donner au moins 7 décimales exactes pour moi!
Merci pour ce premier coup de pouce :
-> 1°) En effet, la fonction est fort sympathique
-> 2°) C'est bien ce que j'avais écrit, mais le fait que je n'avais pas utilisé les balises pouvait tromper ( enfin je crois ^^ ) :
ça donnait donc ça : | cos(x) - P4,0(x) | <= (M|x|5)/(5!)
Donc la justification est suffisante? Par majoration de cos?
-> 3°) Oui moi aussi je pensais plutôt à 7 chiffres exacts, mais 6 chiffres exacts et un 7ième exact ou arrondi paraît plausible ( Quelqu'un d'autre a un avis là-dessus? )
Sinon en procédant comme je l'ai indiqué, je trouve |x| 
5
(120 * 10-7), carrément pas pratique une racine cinquième, c'est pour ça que je doute du résultat
Aussi, pour la question 4, je ne vois pas comment m'y prendre, les rationnels ne m'ont jamais réussi... 
2)Non, par majoration du reste avec sin fourni par Taylor-Lagrange à l'ordre 5 (la formule avec 120 et thêta que je t'ai donnée)
3)Dire que 0,015 approche 0,017 à 0,01 près signifie bien que leur distance (0,002 ici) est inférieure à 0,01.
0,015 a bien deux chiffres exacts après la virgule!
Ta réponse est juste, on trouve bien que la plus petite valeur de a possible est la formule que tu écris, je ne vois pas ce qui te choque.A la limite tu peux l'écrire avec des puissances 1/5 si tu préfères!
4)Tu n'as qu'à écrire là encore que pour tout x réel il existe tel que
puis tu remplaces x par 1/10 dans le polynôme
Cela te donne bien l'approximation cherchée.
L'erreur est inférieure à avec x=1/10.
A toi...
Je ne comprends pas, le polynôme de taylor que je trouve pour approximer cos(x) au voisinage de 0 est :
P4,0(cos(x)) = 1 - x2/2 + x4/24
Je ne comprends pas d'où vient ton expression qui fait intervenir 'sin'
Donc je trouve que l'erreur est inférieure à 10-7 sur l'intervalle [ - 5(120 * 10-7) ; + 5(120 * 10-7) ] selon mon inéquation
mais lorsque je teste avec ma calculatrive je trouve :
cos(5(120 * 10-7)) = 0.9946265504
avec mon polynôme, en remplaçant x par 5(120 * 10-7) -> 0.9946217312
En gros l'erreur est seulement inférieure à 10-5 ...
Je ne comprends pas d'où vient ton expression qui fait intervenir 'sin'
->J'ai développé à l'ordre 3 à la question 4...
MAis de quelle question parles-tu?
Si c'est de la question 3, il faut bien appliquer la formule de Taylor-Lagrange pour obtenir un reste puis le majorer non?!
La formule est que si f est n+1 fois dérivable sur un voisinage de 0 (pour simplifier) contenant x, alors il existe theta (dépendant de x) tel que:
Ici tu appliques cette formule avec n=4 et f(5)(x)=-sin(x).
C'est le dernier terme qui représente l'erreur, donc l'inéquation s'écrit bien :
(valeur absolue de ce dernier terme) inférieur ou égal à (10-7).
->J'ai développé à l'ordre 3 à la question 4...
Mais de quelle question parles-tu?
Oui j'avais compris, je disais que je ne comprend pas d'où vient ton -sin pour la question 2, et dans mon cours je n'ai que deux éléments de Taylor ( Lagrange de figure jamais, c'est peut-être pour ça que je ne comprends pas) :
1. La formule générale pour déterminer un polynôme d'approximation
2. L'inégalité de Taylor qui dit que la valeur absolue de la fonction approchée moins le polynôme (n-1) approchant est inférieure à ( M * | x - x0 |n ) / n!
Est-ce que que mon Polynôme à l'ordre 4 serait faux? Vu que mon approximation pour la question 3 n'est pas suffisante?
Alors si vous n'avez pas vu lagrange, vous avez juste dû voir les inégalités,ok.
Bon ça change rien, il s'agit bien de majorer la valeur absolue de la dérivée cinquième qui est - sin(x) par son maximum M=1.
Tu retombes donc bien sur l'inéquation dont je te parlais.
Ton polynôme à l'ordre 4 est juste, encore une fois c'est le majorant (M.|x|^5)/120 qu'on utilise pour l'inéquation.
A la question 3, je dois déterminer un intervalle [-a;a] sur lequel mon P4,0 me donne une valeur approchée de cos à 10-7.
Seulement, comme je l'ai écrit quelques posts plus haut, lorsque je teste sur les bornes de mon intervalle que je cite aussi, je trouve une approximation à 10-5
alors que pour trouver cet intervalle, j'ai résolu |x|5/120 10-7
Ok c'est bon pour tout, c'était juste un soucis de compréhension du sujet, désolé de t'avoir énervé sur ce coup ^^
Merci de tout coeur pour toute ton aide encore une fois 
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac