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exercice approximation numerique de fonction
Bonsoir.
Je suis en train de me creuser les meninges sur l enoncé suivant. Je ne comprends pas bien la question, on nous demande de trouver une valeur ci dont on ne donne que peu d indication, si ce n est d utiliser la continuité d une fonction (la dérivée de la fonction s). L equation ne prenant en compte que s'', je ne vois pas trop l usage que l on peut ici faire de s', et à fortiori de sa continuité en xi. C est d ailleurs supposé etre un exercice sur l approximation numerique de fonctions. soi dit en passant...
Tout coup de pouce serait tres apprecié! bonne soirée 
"Sur l'intervalle [0, 1], on considère n + 1 points distincts 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 et une
fonction f : [0, 1] → R. On définit ensuite une fonction s sur [0, 1] qui satisfait les propriétés suivantes :
— sur chaque segment [xi, xi+1], s est un polynôme de degré inferieur ou égal à 3
— s(xi) = f(xi), 0 ≤ i ≤ n
—la limite à droite de s' en xi est egal à la limite à gauche de s' en xi pour tout 1 ≤ i ≤ n − 1
—la limite à droite de s'' en xi est egal à la limite à gauche de s'' en xi pour tout 1 ≤ i ≤ n − 1
— s''(x0) = s''(xn) = 0.
on definit hi=xi+1-xi,
di=s''(xi),
i=hi/(hi+hi-1) et
i=hi-1/(hi+hi-1)
En utilisant la continuité de s' en xi, montrer qu'on a la relation suivante :
µidi-1 + 2di + λidi+1 = ci, 1 ≤ i ≤ n − 1
où les ci sont à préciser.
"
le but ici etant, dans les questions suivantes, de prouver que le vecteur colonne d=(di) est solution de l equation : Ad=c
salut
les conditions 1/ et 2/ disent qu'on approxime f par de polynome de degré trois aux points d'interpolation les x_i
la condition 4/ dit que s" est continue
et évidemment pour parler de dérivée seconde alors il faut une dérivée première et qu'elle soit continue ... ce que dit exactement la condition 3/
on definit hi=xi+1-xi,
di=s''(xi),
i=hi/(hi+hi-1) et
i=hi-1/(hi+hi-1)
En utilisant la continuité de s' en xi, montrer qu'on a la relation suivante :
µidi-1 + 2di + λidi+1 = ci, 1 ≤ i ≤ n − 1
où les ci sont à préciser.
merci carpeidem de m avoir repondu. Selon toi, il s agit donc tout simplement de :
ci= ((xi-xi-1)s''(xi-1)+s''(xi)(xi+1-xi-1)+s''(xi+1)(xi+1-xi))/(xi+1-xi-1).
je ne peux pas croire que ce soit aussi simple. De plus qu il n est nullement question d approximation numerique de fonction pour le coup. Et puis ce serait d un niveau lycée tout au plus, et non pas L3 fondamental.
c'est évidemment un exercice théorique pour prouver que ça marche !!!
et tu ne fait pas ce que j'ai dit !!! il n'y a pas de c_i !!! on ne calcule que le membre de droite !!!
ensuite il manque un 2
et enfin c'est illisible : utilise des espaces !!!
et ça me semble faux !!!!
"il n'y a pas de c_i !!! on ne calcule que le membre de droite !!! "
je ne comprends pas ce que tu essayes de dire. Peux tu etre un peu plus clair?
salut
les conditions 1/ et 2/ disent qu'on approxime f par de polynome de degré trois aux points d'interpolation les x_i
la condition 4/ dit que s" est continue
et évidemment pour parler de dérivée seconde alors il faut une dérivée première et qu'elle soit continue ... ce que dit exactement la condition 3/
on definit hi=xi+1-xi,
di=s''(xi),
i=hi/(hi+hi-1) et
i=hi-1/(hi+hi-1)
En utilisant la continuité de s' en xi, montrer qu'on a la relation suivante :
µidi-1 + 2di + λidi+1 = ci, 1 ≤ i ≤ n − 1
où les ci sont à préciser.
de toute façon il faut développer ton résultat de 17h58, simplifier et factoriser judicieusement ...
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