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Niveau Maths sup
Exercice ARITHMÉTIQUE
Posté par ayjab
Salut j'ai commencé un exercice mais je suis bloqué dans la dernière question :
Dans le système décimal on considère l'entier naturel :
an=11....11 (le 1 répété n fois)
1) Vérifier que pour tout "n" appartenant à N* : an=2k+1 et an=5k'+1
2) Déterminer tout les valeurs de n tel que 3/an
3) Soit p>5 un nombre premier
Montrer que : p/ap-1
4)a) Vérifier que pour tout m et n appartenant à (N*)²
m>n ceci implique que am-an=10n.am-n
b) Soit q>=2 un entier naturel tel que PGCD(q,10)=1
Montrer qu'il existe un "n" appartenant à N* tel que : q/aq (c'est cette question qui me pose un problème dans cette exercice)
Les autres questions se basent sur le fait que an peut s'écrire sous la forme d'une sigma tel que
an=
10k (avec k varie de 0 à n-1)
Merci à lire au bout!
Bonjour,
Tu as certainement commencé.
En particulier, lma première question n'est pas très difficile...
Qu'as-tu trouvé?
Où bloques-tu?
Bonjour
La question qui me bloque vraiment est la dernière, ce qui concerne les autres j'ai pu les résoudre
"Soit q>=2 un entier naturel tel que PGCD(q,10)=1
Montrer qu'il existe un "n" appartenant à N* tel que : q/aq"
Je comprends mieux, mais là, je suis un peu sec! 
J'y réfléchis et te recontacte si je trouve une idée géniale. 
Il est plus probable qu'un champion d'arithmétique te réponde avant moi. 
Salut, comment avez vous trouvez le "n"? car on a l'existence non pas quelque soit "n". Dans votre cas si q=3, la seule chose qu'on peut affirmer c'est l'existence "n" tel que q/an, mais on sait pas sa valeur exacte.
P.S :
Je suis désolé pour la faute que j'ai mentionné dans un message précédent.
La dernière question c'est plutôt "q/an" non pas "q/aq".
salut
il suffit de considérer la suite des restes modulo q des a_p
cette suite possède un nombre fini de valeurs distinctes (au plus p)
et il existe donc deux entiers m et n tels que
la question 4a/ permet alors de conclure avec le lemme de Gauss
...
carpediem @ 05-05-2019 à 19:59
salut
il suffit de considérer la suite des restes modulo q des a_p
cette suite possède un nombre fini de valeurs distinctes (au plus p)
et il existe donc deux entiers m et n tels que![a_m \equiv a_n [q]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?a_m \equiv a_n [q])
la question 4a/ permet alors de conclure avec le lemme de Gauss
...
salut
il suffit de considérer la suite des restes modulo q des a_p
cette suite possède un nombre fini de valeurs distinctes (au plus p)
et il existe donc deux entiers m et n tels que
la question 4a/ permet alors de conclure avec le lemme de Gauss
...
Salut
J'ai un peu du mal à comprendre votre raisonnement. Est ce que vous avez trouvez ce "n" qui satisfait q/an ?
J'ai du arrêter hier. En effet, carpediem donne la solution. L'ensemble des classes modulo des
étant fini, il existe sûrement deux entiers distincts tels que
et
. Alors
divise
. Comme
est premier avec 10, …
Remarque : En fait il existe une infinité de m tels que
oui désolé, j'ai de gros pb d'internet ... donc j'interviens brièvement et succinctement ...
mais Camélia a traduit ...
Rebonjour
J'ai trouvé une solution meilleure, en ce sens qu'elle est constructive.
Comme est premier avec 10, petit Fermat dit que
est divisible par
. Mais
.
De plus, on voit que tous les sont divisibles par
.