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Niveau terminale
Exercice classique du petit théprème de Fermat
Posté par mathetudiant
Bonjour à tous, j'éspère que vous allez bien.
J'ai un exercice dont j'ai besoin d'une correction, peut etre une méthode plus simple que la mienne.
--------L'énoncé-------------------------------------------------------------------------------------
Soit a, b, c et d des entiers naturels non nuls. À l'aide de théorème de Fermat, montrer que: A=a4b+d-a4c+d 0
--------Ma réponse---------------------------------------------------------------------------------
Tout d'abord, on a 30=2
35 et 5, 3 et 2 sont premiers entre eux deux à deux. Alors il suffit d'étudier la divisibilité de A par 3, 2 et par 5.
1) la divisibilité de A par 5.
D'après le petit théorème de Fermat: a5
a[5]. (*)
On distingue deux cas:
1 er cas: a est un multiple de 5: alors a=0[5]
ce qui donne: a4b+d-a4c+d0[5]
Dans ce cas, A est divisible par5.
2 eme cas: a n'est pas un multiple de 5: alors PGCD(a;5)=1. En utilisant le résultat (*), on trouve a41[5].
Il s'ensuit alors a4b+d1[5] et a4c+d1[5]. D'ou, A0[5].
En conclusion, A est divisable par 5.
2) la divisibilité de A par 2.
1 er cas: a est impair. Donc a s'écrit sous la forme 2k+1 avec k est un entier relatif.
Alors, A=(2k+1)4b+d-(2k+1)4c+d
=
=
On peut aussi utiliser le petit théorème de Fermat
2 eme cas: a est pair. Le résultat est trivial car dans ce cas on obtient:
A=
En conclusion, A est divisible par 2.
3) la divisibilité de A par 3.
1 er cas: a est un multiple de 3. Alors le résultat est trivial (la meme démonstration)
2 eme cas: a est premier avec 3. On peut utiliser la meme thechnique ou bien utiliser tout simplement le petit théorème de Fermat avec PGCD(a;3)=1.
Il donne alors: a21[3] alors:
a4b+dad[3] et a4c+dad[3]
Donc: A0[3]
En conclusion, A est divisible par 3.
Enfin, A est divisible par 2, 3 et par 5. Alors A est divisible par 30.
Merci d'avance.
Bonsoir,
Tout cela est exact, la rédaction mériterait d'être un peu plus ordonnée :
Div par 2 puis par 3 puis par 5,
Dans chacune, cas"a divisible par #" et cas "a non divisible par #" dans le même ordre,
Utilisation systématique du petit théorème de Fermat.
De l'ordre, de la rigueur, une seule solution et la plus courte possible.
Tu as le projet d'aller en Maths Sup et à mon sens tu as globalement le niveau, ce qui est l'essentiel, mais ta rédaction est à améliorer.
Essaie de te relire en pensant que c'est quelqu'un d'autre que toi qui a écrit, tu verras, c'est édifiant.
Merci infiniment pour votre aider. Je vais améliorer ma rédaction bien sûr. J'ai un but et je vais le réaliser. 
. Je vous remercie.
salut
il y a tout de même une petite erreur pour la divisibilité par 5 :
et
je pense une simple erreur d'inattention ...
pour ce qui est de la divisibilité par 2 je trouve inutile et compliqué de passer par les coefficients binomiaux et le théorème de Fermat est inutile !!
que ou que
on élève aux puissances 4b + d et 4c + d puis on fait la soustraction et c'est fini
ce n'est pas parce qu'il est écrit application du théorème de Fermat qu'il faut appliquer ce théorème bêtement et partout à toutes les sauces ...
se servir de son intelligence et de sa réflexion n'est pas interdit ... bien au contraire !!
carpediem
Bonjour.
carpediem @ 18-03-2021 à 08:46
salut
il y a tout de même une petite erreur pour la divisibilité par 5 :
![a^{4b + d} \equiv a^d [5]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?a^{4b + d} \equiv a^d [5])
et ![a^{4c + d} \equiv a^d [5]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?a^{4c + d} \equiv a^d [5])
je pense une simple erreur d'inattention ...
salut
il y a tout de même une petite erreur pour la divisibilité par 5 :
je pense une simple erreur d'inattention ...
Oui très bien c'est une faute d'inattention.
carpediem @ 18-03-2021 à 08:46
pour ce qui est de la divisibilité par 2 je trouve inutile et compliqué de passer par les coefficients binomiaux et le théorème de Fermat est inutile !!
que![a \equiv 0 [2]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?a \equiv 0 [2])
ou que ![a \equiv 1 [2]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?a \equiv 1 [2])
on élève aux puissances 4b + d et 4c + d puis on fait la soustraction et c'est fini
ce n'est pas parce qu'il est écrit application du théorème de Fermat qu'il faut appliquer ce théorème bêtement et partout à toutes les sauces ...
se servir de son intelligence et de sa réflexion n'est pas interdit ... bien au contraire !!
pour ce qui est de la divisibilité par 2 je trouve inutile et compliqué de passer par les coefficients binomiaux et le théorème de Fermat est inutile !!
que
ce n'est pas parce qu'il est écrit application du théorème de Fermat qu'il faut appliquer ce théorème bêtement et partout à toutes les sauces ...
se servir de son intelligence et de sa réflexion n'est pas interdit ... bien au contraire !!
Tu as reason, ma methode est bien compliquée. L'exercice est assez simple et j'ai utilisé une complexe technique.
Merci pour votre correction
.