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Exercice Complexe

Posté par
pfff
19-07-20 à 23:56

Bonjour, j'aimerais un peu d'aide.

ÉNONCÉ

Dans le plan rapporté à un repère orthormé ( O \vec{u} \vec{v} )
On considère l'ensemble () des points M d'affixe Z tels que :

| Z -1 - i | = \frac{1}{4}| Z + i \bar{Z}-8(1+i) |.

1. Soit P l'application du plan dans lui même, qui a tout point M d'affixe Z associe le
point M' d'affixe Z' tel que : Z' = \frac{1}{2} ( Z - i\bar{Z} + 8(1+i) )

on pourra poser Z = x+iy et Z' = x'+iy' ou x, y , x' et y' sont des réels.

a)Déterminer l'ensemble des points M du plan P(M) = M

b) Montrer que pour tout point M, les coordonnées du point M' vérifient x'+y'-8=0

on appelle (D) la droite décrite par les points M'.

c) Montrer que \vec{MM'} est un vecteur normal à la droite (D)
Caractériser géométriquement l'application P.

2) On se propose de déterminer l'ensemble () défini au début de l'exercice.

a) Montrer que Z' -Z = \frac{1}{2} ( Z + i\bar{Z} - 8(1+i) )

b) En déduire que l'ensemble () est une ellipse de foyer 1+i, de directive (D), et d'excentricité 1/2.
Préciser l'axe focal

j'ai déjà fait les 2 premières questions merci de m'aider pour la suite

Posté par
lake
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 01:51

Bonsoir,

1)c)  Tu peux calculer les coordonnées du vecteur \vec{MM'}   en fonction de x et y et vérifier que \vec{MM'}.\vec{u}=0\vec{u} est un vecteur directeur de D

  La caractérisation géométrique de P (comme projection) est immédiate.

2)a) Du calcul mais je crois que tu as soit une erreur de signe soit oublié des modules.

2)b) Pense à la caractérisation d'une ellipse par foyer/directrice.

Posté par
pfff
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 01:56

D'accord merci
et comment je trouve les coordonnées du vecteur u ?

Posté par
lake
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 02:03

Là il va falloir que tu trouves seul:

  un vecteur directeur de la droite d'équation x+y-8=0

ce n'est pas difficile...

Posté par
pfff
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 02:10

Facile ( 1 ; 1 )
mais je fais comment dans le cas de mon exo

Posté par
lake
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 02:15

Mais dans ton exo c'est bien de cette droite dont il s'agit!

Et pas si facile que ça: c'est faux.

Posté par
pfff
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 02:29

Citation :
on appelle (D) la droite décrite par les points M'.


Ah oui c'est vrai merci beaucoup

et désolé j'ai plutôt donné un vecteur normal je crois, un vecteur directeur est ( -1 ; 1 )

Merci et bonne nuit !

Posté par
pfff
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 02:37

Z' -Z = \frac{1}{2} ( Z + i\bar{Z} - 8(1+i) )

effectivement c'est plutôt Z - Z'

Posté par
pfff
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 02:50

j'ai encore un petit problème au niveau de la dernière question

on a :| Z -1 - i | = \frac{1}{4}| Z + i \bar{Z}-8(1+i) |

                                       = \frac{1}{2}| \frac{1}{2} (Z + i \bar{Z}-8(1+i))|

                                       = \frac{1}{2} | Z - Z' |

je bloque pour la suite

Posté par
lake
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 11:45

Citation :
on a :| Z -1 - i | =\frac{1}{2} | Z - Z' |


Oui, mais avant de continuer, j'aimerais bien que tu me donnes ta conclusion pour 1)c) à savoir:

  
Citation :
Caractériser géométriquement l'application P.

Posté par
pfff
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 14:54

Bonjour,
P est donc la projection orthogonale sur (D)

Posté par
lake
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 17:52

Oui.
Et donc à partir de:  

  

Citation :
on a :| Z -1 - i | =\frac{1}{2} | Z - Z' |
,

si tu appelles F le point d'affixe 1+i, tu obtiens la relation:

\dfrac{ MF}{MM'}=\dfrac{1}{2}M' est le projeté orthogonal de M sur la droite D

Ce la doit te rappeler un passage de ton cours sur les coniques.

Posté par
pfff
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 18:38

Exactement !
Merci

je fais comment pour l'axe focal ?

Posté par
lake
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 18:46

Mais c'est la perpendiculaire à D passant par F

Bon, un dessin en cadeau (avec des informations que l'on ne te demande pas); tu pourras en faire bon usage pour déterminer les éléments de l'ellipse.

Exercice Complexe

Posté par
pfff
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 19:35

Ah je vois

Soit P(F) = K on a Z_K = 4 +4i

L'axe focal de ( C ) est la droite (FK)

Merci beaucoup !

Posté par
lake
re : Exercice Complexe 20-07-20 à 19:52

De rien pfff

Posté par
lake
re : Exercice Complexe 22-07-20 à 10:13

Juste un petit complément pour pfff s'il repasse par ici:

Sur le dessin figure une équation cartésienne de l'ellipse : 7x^2-2xy+7y^2-48=0  qui n'était pas demandée  et qui n'est pas du tout dans l'esprit de l'exercice. Cependant, il est utile de connaître la démarche pour l'obtenir:

  | Z |^2=Z.\bar{Z}

Avec des équivalences entre chaque ligne:

|z-1-i|=\dfrac{1}{4}|z+i\bar{z}-8(1+i)|

16\,|z-1-i|^2=|z+i\bar{z}-8(1+i)|^2

16\,(z-1-i)(\bar{z}-1+i)=[z+i\bar{z}-8(1+i)][\bar{z}-iz-8(1-i)]

On développe les deux membres, on réduit (calculs un peu pénibles) pour obtenir:

14z\bar{z}+i(z^2-\bar{z}^2)-96=0

7z\bar{z}-2\,\dfrac{z+\bar{z}}{2}\,\dfrac{z-\bar{z}}{2i}-48=0

7x^2-2xy+7y^2-48=0



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