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Niveau Maths sup
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Exercice Complexes sur les complexes!

Posté par Ark2 (invité) 29-12-04 à 17:42

Salut a tous et bonnes fetes,

Voila j'ai DM ou je ne comprend pas toous :

soit f et g de dans par pour tous z ,
f(z)=z^3+4(1-i)z^2-2(2+7i)z-16+8i
g(z)=z^3+2-2i

Démontrer qu'il existe un et un seul réel r,que l'on determinera, qui vérifie f(r)=0.
Démontrer que les deux nombres complexes a et b tels que f(z)=(z-r)(z^2+az+b).

Résoudre alors l'équetion f(z)=0 dans
Montrer que les points dont les affixes sont les solutions de cette équations forment un triangle rectangle.

A,B,C sont les points de P dont les affixes respectives sont -1+3i, 1+i, -4.
Determiner l'affixe du barycentre G du systeme ((A,4);(B,3);(C,5)).

Voila je vous remercie et vous souhaites bon courage.

Posté par TiTan (invité)Vous avez dit complexe ? 29-12-04 à 20:23

Ben.. si tu nous disais au moins ce que tu trouves complexe ?

D'abord on te demande de résoudre f(z) = 0 dans R, donc r réel tel que r^3 + 4 ( 1-i) r^2- 2*(2+7i)r -16 +8i =0

Tu peux essayer de prendre les arties réelles et imaginaires de cette expression, et par identification, tu dis que les deux sont nulles et si j'ai bien vu les choses tu devrais tomber sur ta solution r
Si tu travailles par équivalence tu auras en plus prouvé l'unicité de la solution que tu auras trouvé, ce qui répond à la première question.

Ensuite la deuxieme quesiton est une factorisation d'une equation du troisieme degré dans C ; puisqu'on en connait une racine ( r, déterminé en question précédente ) on peut effectivement factoriser. Je te laisse faire es divisions pour déterminer a et b.

Après, tu résoud l'équation z^2 + az + b = 0, et tu as deux autres solutions, complexes cette fois, à l'équation f(z) = 0
Tu ajoutes r et tu as la réponse à la troisieme question.

Chaque affixe décrit un point ( abscisse = partie réelle, ordonnée = partie imaginaire ), si tu appelles les points A, B et C de coordonnées les affixes solutions de f(z) = 0 dans C, et que tu appliques la réciproque de pythagore, tu devrais tomber sur un triangle rectangle.

Pour ce qui est du barycentre, il faut déterminer les coordonnées x et y de G, et dire que la solution est x + iy.

Les coordonnées de G te seront données par l'équation 4AG + 3AG + 5CG = 0, le tout en vecteurs.

Remarque que l'on te donne ici les affixes de A, B et C, qui vérifient l'équation f(z) = 0.
Donc, pour ton information, tu devrais trouver r = -4, et les deux racines de z^2 + az + b sont 1+i et -1+3i

Posté par TiTan (invité)erratum 29-12-04 à 23:18

4AG + 3BG + 5CG
et par ajouter, pour la question 3, j'entend que tu l'ajoute à l'ensemble qui est deja constitué des deux solutions complexes trouvées pour le trinome du second degre.

Posté par Ark2 (invité)re : Exercice Complexes sur les complexes! 30-12-04 à 13:20

Re
merci a toi TiTan
Je retrouve bien tous ca.
Et bonne année.



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