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Exercice concours Banque de France

Posté par lekimonorouge (invité) 13-08-07 à 16:57

Bijour,
Cet exercice était proposé pour le concours d'adjoint à la banque de France. Si quelqu'un pouvait me proposer la solution, ça serait chouette car je l'ai fait de mon côté mais n'ait aucun moyen de vérification, merci beaucoup.


On considère une variable aléatoire X à valeurs dasn {0 ;1} telle que P[X=1]= p et P [X=0] = 1-p. On dit que X suit une loi de Bernouilli de paramètre p.

1- Calculer les espérance et variance de X notées respectivement EX et VX

2- On considère une deuxième variable aléatoire Y indépendante de X telle que P[Y=1]=

et P [Y=0]= 1-

Quelle est la loi de X + Y ? Etudier le cas particulier = p

3- On considère un échantillon de n variables aléatoires (X1, …, Xn) indépendantes identiquement distribuées suivant chacune une loi de Bernouilli de paramètres p.

On pose Sn = X1+…+Xn

Montrer que P [Sn = x ] = Cxnpx(1-p)n-x pour x {0,1,…,n} et 0 sinon.

4- Montrer que p' = 1/n (X1 +…+ Xn) estime sans biais p.

5- Calculer la variance de p'. Que peut-on dire de p' ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice concours Banque de France 13-08-07 à 17:16

Bonjour,

Je suggère que tu nous donnes d'abord tes réponses.

Nicolas

Posté par lekimonorouge (invité)hum 13-08-07 à 17:40

Mince, grillé.

Donc pour la première question, j'ai :

EX = p
VX = p (1-p)

Après la deuxième question, je sais déjà plus

Et la suite on verra quand j'aurai la réponse pour la deuxième question.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice concours Banque de France 14-08-07 à 08:19

1.

\mathbb{E}X = 1\times\mathbb{P}(X=1)+0\times\mathbb{P}(X=0)=\fbox{p}

La variance est la somme pondérée des carrés des écarts à la moyenne :
\mathbb{V}X = (1-p)^2\times\mathbb{P}(X=1)+(0-p)^2\times\mathbb{P}(X=0) = (1-p)^2p+(0-p)^2(1-p)=\fbox{p(1-p)}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice concours Banque de France 14-08-07 à 08:28

2. Quelles sont les valeurs possibles pour X+Y ?
J'en vois trois :
0 si X=Y=0
1 si (X=0 et Y=1) ou (X=1 et Y=0)
2 si X=Y=1

D'où la loi de X+Y :

(1) \mathbb{P}(X+Y=0) = \mathbb{P}(X=0\mathrm{\ et\ }Y=0)
Or les variables sont indépendantes, donc :
\mathbb{P}(X+Y=0) = \mathbb{P}(X=0)\cdot\mathbb{P}(Y=0)=(1-p)(1-\pi)

(2) \mathbb{P}(X+Y=1) = \mathbb{P}\left(\left(X=1\mathrm{\ et\ }Y=0\right)\mathrm{\ ou\ }\left(X=0\mathrm{\ et\ }Y=1\right)\right)
Or \left(X=1\mathrm{\ et\ }Y=0\right) et \left(X=0\mathrm{\ et\ }Y=1\right) sont des évènements incompatibles, donc :
\mathbb{P}(X+Y=1) = \mathbb{P}\left(X=1\mathrm{\ et\ }Y=0\right)+\mathbb{P}\left(X=0\mathrm{\ et\ }Y=1\right)
Or les variables sont indépendantes, donc :
\mathbb{P}(X+Y=1) = \mathbb{P}(X=1)\cdot\mathbb{P}(Y=0)+\mathbb{P}(X=0)\cdot\mathbb{P}(Y=1)=p(1-\pi)+\pi(1-p)

(3) \mathbb{P}(X+Y=2) = \mathbb{P}(X=1\mathrm{\ et\ }Y=1)
Or les variables sont indépendantes, donc :
\mathbb{P}(X+Y=2) = \mathbb{P}(X=1)\cdot\mathbb{P}(Y=1)=p\pi

(4) \mathbb{P}(X+Y=a) = 0 si a est différent de 0, 1 ou 2

On vérifie que la somme des probabilités fait bien 1.

Sauf erreur.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice concours Banque de France 14-08-07 à 08:29

Je te laisse chercher un peu la suite...

Posté par lekimonorouge (invité)re : Exercice concours Banque de France 14-08-07 à 10:35

Merci beaucoup.

Pour la suite, ça prend la forme d'une loi binomiale donc voilà...

Après, j'ai fait les calculs pour P [Sn=0] et P[Sn=1], ça m'a donné des résultats mais je ne sais pas si c'est la bonne piste !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice concours Banque de France 14-08-07 à 10:40

Montre-nous en un peu plus... Quels sont ces résultats ?

Posté par lekimonorouge (invité)re : Exercice concours Banque de France 14-08-07 à 10:47

Donc si P [Sn=0] = n !

Et si P [Sn = 1] = n ! p (n-1) < J'en suis déjà beaucoup moins convaincu lol.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice concours Banque de France 14-08-07 à 10:55

Une probabilité doit toujours être comprise entre 0 et 1. Donc n! est impossible.

\fbox{\mathbb{P}(S_n=0)\,=\, ...\; ?}
Pour que S_n=0, il faut que X_1=X_2=...=X_n=0
\mathbb{P}(S_n=0)\,=\,\mathbb{P}\left((X_1=0)\mathrm{\ et\ }...\mathrm{\ et\ }(X_n=0)\right)
Or ces évènements sont indépendants, donc :
\mathbb{P}(S_n=0)\,=\,\mathbb{P}(X_1=0)\times...\times\mathbb{P}(X_n=0)=(1-p)^n

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice concours Banque de France 14-08-07 à 10:58

\fbox{\mathbb{P}(S_n=1)\,=\, ...\; ?}
Pour que S_n=1, il faut que tous les X_i soient nuls, sauf un :
- on choisit le X_i non-nul : n possibilités
- probabilité que celui-ci soit non nul : p
- probabilité que les (n-1) autres X_i soient nuls : (1-p)^{n-1}
\mathbb{P}(S_n=1)\,=\, np(1-p)^{n-1}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice concours Banque de France 14-08-07 à 11:01

3. Soit x un entier compris entre 0 et n.

\fbox{\mathbb{P}(S_n=x)\,=\, ...\; ?}
Pour que S_n=x, il faut que x X_i soient égales à 1, et les autres tous nuls :
- choix des X_i égales à 1 : C_n^x possibilités
- probabilité que ces x X_i soient égales à 1 : p^x
- probabilité que les n-x autres X_i soient égales à 0 : (1-p)^{n-x}
Finalement :
\mathbb{P}(S_n=x)\,=\, C_n^xp^x(1-p)^{n-x}

Posté par lekimonorouge (invité)re : Exercice concours Banque de France 15-08-07 à 12:13

J'ai pas lâché l'affaire. J'ai été un peu pris là.

Posté par lekimonorouge (invité)re : Exercice concours Banque de France 15-08-07 à 12:15

Sinon, ça m'a l'air très bien tout ça. Je doute que je sois prêt pour le concours. Je me remets peu à peu là dedans. Et je viens de voir qu'il faut que je révise l'algèbre matriciel et cie.


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