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Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 20:11

U1=e0/1=1

Posté par
carpediem
re : exercice concours général 26-03-21 à 20:16

et alors ?

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 20:25

eh bien il existe un rang N tel que UN1 mais ici ce rang est 1 donc 2 non ?

Posté par
verdurin
re : exercice concours général 26-03-21 à 20:53

Bonsoir,
si u0=0 on a bien u1=1 ensuite on peut calculer les termes suivants et voir que u4<1.

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 20:59

bonsoir et merci,
compris pour la 4! auriez vous des pistes pour la 5 ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 08:28

carpediem

oui, tout y était dans sa récurrence, mais c'était un tel fouillis !

pour moi elle n'est pas "convenable"... une démonstration mathématique ne consiste pas à tout jeter sur la table en laissant le lecteur mettre de l'ordre !

leawz

tu proposes quoi pour la 5a ? elle n'est pas si difficile... on va pas tout faire à ta place

Posté par
carpediem
re : exercice concours général 27-03-21 à 09:40

sur ce point je suis d'accord avec toi ...

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 13:02

Bien sûr c'est n'est pas le but!
Je pense avoir réussi la 5.a, j'ai utilisé une récurrence, je rédige ça ici quand je rentre

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 15:43

voila ce que j'ai fait:
soit P(n) la propriété "la fonction x Un(x) est strictement croissante sur "
initialisation : (n=0)
U0(x)=x est strict croissante sur comme fonction usuelle.
ainsi, P(0) est vraie
hérédité: on suppose qu'il existe un entier n tel que P(n) soit vraie.
ainsi, x Un(x) est strictement croissante sur
comme xexp(x) est strict. croissante sur
alors par composition x eUn(x) est strict croissante sur
de plus comme 1/n+1>0 alors par produit x Un+1 est aussi strict croissante sur

P(0) est vraie et P est héréditaire donc n, x Un(x) est strict croissante sur

qu'en pensez vous?
par contre pour la 5.b cela fait 1h que je cherche mais je ne trouve rien...

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 16:41

ah ben voilà, là c'est clair pour la 5a

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 16:46

5b : cela ne me parait pas très compliqué pourtant...

si un(x) 0 quand n

il existe N2 tel que uN(x) 1

donc pour tout x'x ...

je te laisse poursuivre

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 17:12

cela dit, avec la question 5a et la question 1, il y a encore plus direct il me semble pour la 5b

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 17:20

Avec les indications que vous avez donné :
Pour tout x'x
Un(x')Un(x) car on a démontré que la fonction x Un(x) est strictement croissante sur R
Il existe donc N' tel que UN'1, donc Un(x') converge vers 0

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 17:22

A quoi pensez-vous de plus direct ?
Sinon pour la 6.a ça je pense y arriver tout seule

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 17:22

il y a même plus simple

0 < un(x') un(x)

et théorème des gendarmes

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 17:23

expose ta solution pour la 6a

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 17:46

Au final je ne sais pas comment faire car je pensais juste qu'il fallait dériver pour obtenir les variations mais on ne peut pas étudier le signe de la dérivée donc il faut trouver un autre moyen je pense 😅

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 17:52

faut faire preuve d'un peu plus d'initiative si tu veux passer le concours général ...

si la dérivée te parait encore trop difficile à étudier... on r'dérive !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 17:54

C'est justement ce que j'étais en train de faire, j'ai f''(x) et avec le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires je peut avoir une valeur approchée pour savoir quand f'(x) devient positive

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 17:56

aucun intérêt... regarde ce qu'on te demande

plutôt que de causer, si tu nous montrais précisément ce que tu fais

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:07

bon voila ce que j'ai fait:
f(x)=exp(x)-x(x+1)
f'(x)= exp(x)-2x-1
f''(x)=exp(x)-2

f''(x) est positif sur [ln(2);+[ donc f' est croissante sur cet intervalle. j'avais ici pensé à utliser le corollaire du théorème des valeur intermédiaire pour savoir quand f'(x) est positive sur [ln(2);+[, et je trouve que pour x1,25 on a f'(x) strictement postive. on en déduit que f est croissante sur [1,25; +[ or f(1,25)0,67, donc f(x) est positive sur cet inervalle.

desolée, c'est surement mal rédigé, de plus je ne sais pas faire de tableau de variation sur ce site

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:18

tu remarqueras qu'on te demande un résultat sur [2 ; + [

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:21

oui, mais si on démontre que f est positve sur [1,25;+[, elle le sera aussi sur [2;+[ non?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:24

certes... mais pourquoi se compliquer la vie !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:27

je suis d'accord mais c'est ce à quoi j'ai pensé, y a-t-il plus simple?
en attendant je cherche pour la question 6.b, je suppose qu'il faut faire une récurrence donc je vais essayer de vous rédiger mon raisonnement également

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:34

f'' > 0 sur [2 ; + [

f' croît sur [2 ; + [

f'(2) = e²-5 > 0

donc f' > 0 sur  [2 ; + [

donc f croît sur  [2 ; + [

f(2) = e² - 6 > 0

donc f > 0 sur  [2 ; + [

et pis c'est tout

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:45

question 6.b:
soit P(n) la propriété "Unn+1"
(comme pour la question 2, je suppose que l'initialisation n'est pas utile puisque c'est le rang N et que l'on impose dans l'énoncé que la condition soit vraie, enfin je crois )
hérédité:
on suppose qu'il existe un entier n tel que P(n) soit vraie . ainsi, Unn+1
d'ou eUnen+1
d'ou Un+1 en+1/n+1 (car n+1 est positif)
or nN1
donc en+1e2 et n+12

on obtient Un+1en+1/n+1e2/2N+1 car N1
par récurrenne P est hérédiataire donc Un n+1 pour tout n positif

ensuite comme en+1/n+1 + quand n+ (qu'on peut justifier avec la croissance comparée en posant x=n+1). ainsi par majoration Un+1+

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:48

leawz @ 27-03-2021 à 18:45


on suppose qu'il existe un entier n tel que P(n) soit vraie . ainsi, Unn+1
d'ou eUnen+1
d'ou Un+1 en+1/n+1 (car n+1 est positif)

jusque là ça va

après c'est n'importe quoi !

or nN1
donc en+1e2 et n+12

on obtient Un+1en+1/n+1e2/2N+1 car N1
par récurrenne P est hérédiataire donc Un n+1 pour tout n positif

être supérieur à N+1 n'entraine pas le fait d'être supérieur à n+1 ... tu n'as rien montré !

ensuite comme en+1/n+1 + quand n+ (qu'on peut justifier avec la croissance comparée en posant x=n+1). ainsi par majoration Un+1+

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:50

et faudra revoir les bases sur les inégalités...

A > B et C > D n'entraine pas du tout A/C > B/D

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 18:55

et c'est là qu'on se demande : "mais pourquoi ils m'ont demandé de montrer cela dans la question précédente ?"

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 19:01

d'accord je comprend mon erreur, mais par contre je ne voit pas le rapport avec la question précédente, faut il faire un tout autre raisonnement ou re chercher a partir de
Un+1en+1/n+1 pour la même démonstration ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 27-03-21 à 19:02

faut chercher un peu quand même !

6a :

ex x(x+1) pour tout x2

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 19:28

je ne trouve toujours rien... je suppose que comme on a Un+1en+1/n+1 il faudrait
en+1/n+1n+2 pour que l'on puisse se ramener à la question précédente, mais ce ne sont que des suppositions, je ne sais pas comment montrer cela...

Posté par
leawz
re : exercice concours général 27-03-21 à 19:54

je crois avoir trouvé!!
reprenons à Un+1exp(n+1)/n+1
or on a pour tout nN1 exp(n+1)/n+1n+2 (qu'on peut justifier avec la question précédente)
on sait que n1 donc n+12, et la fonction xexp(x)-x(x+1) est positive sur 2;+, donc on pose x=n+1 et on obtient Un+1n+2 et P est héréditaire

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 09:26

oui !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 09:46

Super, merci! En attendant hier soir j'ai aussi fait la question 6c et la 7, je les postes dès que je peux, puis on pourra passer à la dernière partie de l'exercice ( qui ma l'air plus difficile 😅) si vous le voulez bien

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 09:52

la 6 b n'est pas tout à fait finie... mais bon, la conclusion n'est pas loin

oui, on peut continuer...

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 10:56

je l'ai faite aussi
conclusion de la 6.b :
Unn+1 or n+1+ quand n+ donc par majoration Un+

6.C :
on pose x=1
ainsi U0(1)=1 et U1(1)=e2
il existe donc un rang N1 pour lequel UNN+1 donc U(1) diverge vers +

7 :
Un(x) + quand n+ alors il existe N1 tel que UNN+1
donc x' x
Un(x')Un(x) (car x Un(x) est strict croissante sur )
il existe donc N' tel que UN'(x')N'+1
donc Un(x') diverge vers +

est-ce convenable ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 10:59

bien compliqué pour la 7 !

un(x') un(x) pour tout n suffit

pourquoi s'encombrer avec ton histoire de N' ?

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 11:16

Suite et fin de l'exercice:
Nous allons maintenant démontrer qu'il existe un nombre réel d tel que l'intervalle ]-; d[ est inclus dans E0 et l'intervalle [d;+[ est inclus dans E.
8) on définit deux suites (An)n0 et (Bn)n0 de la façon suivante : on pose A0=0 et B0=1.
Puis pour tout entier n0 on pose An+1=(An+Bn)/2 et Bn+1=Bn si (An+Bn)/2 E0, sinon on pose An+1=An et Bn+1=(An+Bn)/2.

a. Démontrer que les suites a (An)n0 et (Bn)n0 sont convergentes et ont même limite
b. Soit d la limite commune aux suites An et Bn. Démontrer que l'intervalle ]-;d[ est inclus dans E0 et que l'intervalle ]d;+[ est inclus dans E

9. On pose C2=ln(ln(2)), C3=ln(ln(2ln(3))) et plus généralement Cl= ln(ln(2ln(3ln(...ln(l-1)ln(l)...)))).
Démontrer que, pour tout entier l2, le nombre réel Cl appartient à E0

10. Démontrer que la suite (Cl)l2 converge.

11. Démontrer que d E

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 11:19

matheuxmatou @ 28-03-2021 à 10:59

bien compliqué pour la 7 !

un(x') un(x) pour tout n suffit

pourquoi s'encombrer avec ton histoire de N' ?


Je ne sais pas, j'ai voulu reprendre les conditions de l'énoncé, mais si un(x') un(x) suffit c'est mieux alors!

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 12:18

Je suis vraiment bloquée pour la 8...

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 16:39

j'ai quelques pistes mais je n'arrive pas à conclure:
j'ai d'abord calculer les premiers termes de An et Bn pour se faire une première idée:
A0=0
B0=1
A1= 0
B1=1/2
A2= 1/4
B2= 1/2
A3=1/4
B3=3/8
A4= 5/16
B4=3/8 (sauf erreur de ma part)
avec cela, j'ai constaté qu'en faisant Bn-An pour les premiers termes on obtenait 1;1/2;1/4;1/8;1/16... on peut supposer que cette différence tend vers 0

on pourrait essayer de montrer que An est croissante et Bn est décroissante (et majoré/minoré peut être ?) puis de montrer que leur différence tend vers 0.
qu'en pensez vous?
c'est ce que j'essaie de faire mais je n'arrive à aboutir à aucune vrai démonstration, je suis un peu perdue avec l'expression des deux suites qui sont reliées l'une à l'autre...

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 17:56

leawz @ 28-03-2021 à 11:19


Je ne sais pas, j'ai voulu reprendre les conditions de l'énoncé, mais si un(x') un(x) suffit c'est mieux alors!


ben x' x et un( ) fonction croissante

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 17:59

8a
à démontrer (suites adjacentes.... rien de bien sorcier ici !) :

An Bn pour tout n

An croît

Bn décroit

Bn-An tend vers 0

conclure

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:05

je n'ai jamais vu les suites adjacentes...
pour ce qui est des démonstrations, c'est ce que j'essaye de faire depuis tout à l'heure mais j'ai du mal... pouvez vous m'indiquer comment démarrer?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:11

faudrait que tu forces un peu je crois ! tu as tendance à tout attendre de nous...

à ton avis, comment peut-on démontrer le premier point ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:13

(et on peut même ajouter que 0 An Bn pour le premier point )

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:19

voila ce que j'ai essayé de faire pour AnBn
soit P(n) la proposition "AnBn"
init: (n=0)
A0=0
B0=1 donc A0B0
P(0) est vérifiée
hérédité: on suppose P(n) vraie pour un entier positif n
ainsi AnBn
An+Bn2Bn
An+Bn/2Bn
sauf qu'ici mon problème est que An+1 n'est pas toujours égal à ( An+Bn)/2 donc je ne sais pas comment continuer... faut il traité 2 cas avec An+1=An?

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:21

ah je n'avais pas encore vu votre message pour 0AnBn
le problème est que j'essaye mais une fois rédiger c'est souvent mal fait, donc j'ai peur de me tromper

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