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Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:26

peut être... une fois qu'on est à
An+Bn/2Bn on a Bn=Bn+1
donc An+1Bn+1

dans le cas où An+1=An
on part de AnBn
2AnBn+An
An=An+1Bn+1
donc P est héréditaire!

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:35

voilà, c'est très mal écrit (il manque une floppée de parenthèses indispensables) mais c'est l'idée...

ensuite

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:38

et un dessin ne ferait pas de mal ! c'est un principe de dichotomie...

dans le segment [An ; Bn]

soit An est reproduit au rang suivant et Bn devient le milieu

Soit Bn est reproduit au rang suivant et An devient le milieu

bref

point n°2

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:46

ensuite pour An croit:
soit P(n) la propriété "An+1An"
init: A0=A1=0
P(0) est vérifiée
hérédité: on suppose P(n) vraie pour un entier n positif
ainsi An+1An
dans le cas où An+2=An+1 l'inégalité est directement vérifiée
sinon on a An+1An
(An+1+Bn+1)/2 (An+Bn+1)/2
or ici Bn+1=Bn
d'ou An+2An+1 et P est héréditaire

je suppose que c'est le même raisonnement pour montrer que Bn décroit

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 18:56

que c'est compliqué !

tu as lu et compris ma remarque de 18:38 ?

An+1 - An vaut 0 ou (Bn - An) / 2

le résultat est immédiat !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 19:03

ah et donc (Bn-An)/2 est toujours positif comme AnBn donc An+1-An0 dans tous les cas

sinon oui, je pense avoir compris votre remarque, mais en quoi peut elle servir dans les démonstrations à faire ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 19:04

à faire un dessin pour comprendre la situation

bon allez, point 3

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 28-03-21 à 19:09

bon, je vais devoir quitter

des points 1-2-3 tu en déduiras que ces deux suites convergent

pour le point 4 tu remarqueras que cette suite est géométrique

et tu concluras.

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 19:20

point 4: bn+1-Bn=0 ou (An-Bn)/20 donc (Bn) décroit

Posté par
leawz
re : exercice concours général 28-03-21 à 19:34

leawz @ 28-03-2021 à 19:20

point 3: bn+1-Bn=0 ou (An-Bn)/20 donc (Bn) décroit


point 4: Bn+1-An+1= (An+Bn)/2-An=(Bn-An)/2 ou Bn-(An+Bn)/2=(Bn-An)/2
donc Bn+1-An+1= 1/2* Bn-An donc la suite est géométrique et comme la raison est de 01/21 alors la suite converge vers 0. et voila!
et on peut conclure que comme les suites sont adjacentes alors elles ont même limite et convergent!

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 29-03-21 à 11:05

pour la 8b, tu peux montrer facilement que la suite A est dans E0 et la suite B dans E (récurrence)

et en déduire la solution

Posté par
leawz
re : exercice concours général 29-03-21 à 12:46

Pour montrer que A est dans E0 c'est le même raisonnement que la 2) non ?
Soit P(n) “Un(An)1”
Init: n=0
U1(A0=0)=e0/1=1
P(0) est vérifié
Hérédité: on suppose que pour un entier pUp(Ap)1
Up+1=eUp(Ap)/p+1 e/p+1 e/3 1
Car p+1N+13

Je ne sais pas mais je l'impression que ça ne va pas 😅 deja pour l'initialisation il fait prendre n=0 ? Et je ne suis pas non plus si mon hypothèse de récurrence est bonne

Posté par
leawz
re : exercice concours général 29-03-21 à 12:51

Et pour la b il faudrait reprendre le raisonnement de la 6)b en considérant la suite Un(Bn) ducoup

Posté par
leawz
re : exercice concours général 29-03-21 à 14:00

Puis pour conclure :
Soit x<d
Comme x<d et An est croissante de limite d
Il existe Ap tel que xAp
Pour tout Un(x)Un(Ap) (Un étant strict croissante)
Or Un(Ap)-> 0 (car AnE0
Ainsi avec le théorème des gendarmes on obtient que Un(x) tend vers 0 donc xE0
De même avec x>d, en minorant pas Bp au lieu de majorer pas Ap

Posté par
leawz
re : exercice concours général 29-03-21 à 14:10

Je poste aussi un essai de réponse que j'ai fait pour la 9... qui je trouve était assez difficile
On pose Ck,l=ln(k+1)ln(...(l-1)ln(l))...)
Soit P(n) “Uk(Cl)=Ck,l
Init: U1(Cl)= exp(Cl)= ln2ln(...(l-1)ln(l)...)= C1,l P(1) est vérifiée
Hérédité: Uk+1(Cl)=exp(Uk(Cl)/k+1
=exp(Ck,l)/k+1
=Ck+1,l
Donc P est héréditaire

Donc Ul(Cl)=Cl,l=1 et il existe un rang N=l à partir duquel UN1

J'ai essayé de mettre deux indices afin d'avoir une récurrence immédiate, je n'ai pas trouvé d'autre manière, qu'en pensez vous ?
(J'ai passé toute la soirée d'hier sur cette question 😅)

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 29-03-21 à 18:10

on reprend la 8b

que c'est compliqué et incompréhensible !

Montre par récurrence que la suite A est dans E0 et la suite B dans E

utilise la construction des suites A et B, c'est quasi évident

Posté par
leawz
re : exercice concours général 29-03-21 à 18:38

Effectivement, je viens de comprendre et je me suis bien compliqué la tâche 😅

P(n): “AnE0
Init: A0=0 E0 (d'après la question 4)
P(0) vérifiée
Hérédité:
Soit An+1=(An+Bn)/2 et on sait que (An+Bn)/2 appartient à E0
Soit An+1=An et par hypothèse de récurrence An+1E0

Donc dans tous les cas An+1E0!

Et c'est le même raisonnement pour Bn

Posté par
leawz
re : exercice concours général 29-03-21 à 18:39

Pour la conclusion de cette question c'est bon ce que j'avais mis ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 29-03-21 à 18:55

oui, c'est l'idée mais tu te compliques encore la vie en redémontrant des choses déjà démontrées !

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 29-03-21 à 18:59

si x < d,

An tend vers d en croissant donc

il existe un Ap compris entre x et d et Ap E0

donc x ]- ; Ap] E0

(question 5b je crois)

donc x E0

pour tout x < d

donc ]- ; d[ E0

Posté par
leawz
re : exercice concours général 29-03-21 à 19:03

Oui je vois, et la question 9 ? Pour la 10 par contre je ne sais comment m'y prendre

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 18:18

pour la question 9 je ne comprends rien à ce que tu fais

déjà ta propriété P(n) ne dépend pas de n ... !

et ton "k+1" doit être inférieur à "i-1" ...  ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 18:22

mais effectivement le but est de démontrer que un(cn) = 1

il y a de l'idée dans ce que tu fais mais faut formaliser cela

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 18:51

Oui P(k) pardon
De quel i-1 parlez vous ? 😅

Sinon oui c'est ça je veux montrer Un(Cn)=1  mais je n'y suis pas arrivé directement avec cette hypothèse de récurrence, c'est pour cela que j'avais tenté quelque chose avec une récurrence sur k... mais il y a sûrement plus simple

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 19:00

non non, ça me parait pas mal en posant bien les notations.

donc la suite Cn est une suite de E0

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 19:01

évite d'utiliser l comme indice, on confonds avec 1 ou i majuscule...

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 19:06

D'accord bon c'est bon pour cette question alors! Pourriez-vous m'éclairer un peu sur la 10 parce que je ne sais toujours pas comment m'y prendre, récurrence ou peut être utiliser des inégalités?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 19:10

la 10 c'est la convergence ?

assez facile de montrer que C est une suite croissante (pour i>2, ln(i) >1)

et comme c'est une suite de E0 elle est majorée par d

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 19:37

Oui, j'avais pensé à montrer la croissance mais ce avec quoi j'ai du mal c'est qu'ici on a pas de Cl+1 en fonction de Cl directement

Voilà ce que j'ai essayer de faire
Soit P(n) “ Cn+1Cn
Init: n=2
C2-0,2 et C3-0,3
Donc P(2) est vérifiée
Hérédité: on suppose que pour un entier p
Cp+1Cp
ln(ln(2ln...(p)ln(p+1)...) ln(ln(2ln...(p-1)ln(p)...)
ln(ln(2ln...(p+1)ln(p+2)...) ln(ln(2ln...(p)ln(p+1)...) (car p2 donc ln(p)1 ce qui conserve l'inégalité)
Cp+2Cp+1

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 19:56

En attendant pour la 11:
On a dit que Cl appartenait à E0 et de ce fait était majorée par d
Cependant d Cl donc dE0
Ainsi dE

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 22:12

pour la 10 :

absolument pas besoin d'une récurrence !

les derniers ln de Cn+1 c'est ...ln( n ln(n+1) )...)

et n+1 >= 3 donc ln(n+1) > 1

ce qui te donne directement

Cn+1  > Cn

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 22:16

pour la 11 c'est n'importe quoi !

leawz @ 30-03-2021 à 19:56


Cependant d Cl


cela n'a strictement aucun sens !

finis la 10 correctement déjà

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 22:35

et il ne reste plus beaucoup de "temps", le fil va bientôt être bloqué vu le nombre d'échanges

donc soit efficace et rigoureux !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 22:38

Ah d'accord 😂
Si pour la 10 on a montrer que Cn+1Cn alors C est croissante

Et

matheuxmatou @ 30-03-2021 à 19:10


et comme c'est une suite de E0 elle est majorée par d

Donc C est majorée et à la fois croissante donc convergente

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 22:39

je n'ai pas vu de démonstration correcte sur le fait qu'elle est majorée

qui plus est elle est strictement croissante et cela a son importance !

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 22:46

et ne pas confondre les pistes que je t'indique avec un résultat démontré !

donc démontre moi que (Cn) est majorée par d

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 22:50

Je ne sais pas si c'est une démonstration rigoureuse mais je dirais que comme ]-;d[E0 et que ClE0 en étant strictement croissante, alors Cl<d pour tout l

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 22:54

peu convaincant

avec l'hypothèse que tu écris, on pourrait avoir E0 = ]- ; d+4]ar exemple... je ne vois pas pourquoi les termes de la suite (C) seraient tous en dessous de d

ton inclusion est pas dans le bon sens pour conclure !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:00

matheuxmatou @ 30-03-2021 à 22:54

E0 = ]- ; d+4]ar exemple...


A la question 8)b on a montrer que ]-;d[E0 et ]d;+[E donc pourquoi l'intervalle de d a d+4 pourrait appartenir à E0? Elle ne peut pas appartenir à E en même temps non ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:01

donc fais moi un raisonnement propre et convaincant !

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:04

l'inclusion

]-;d[E0

ne peut pas te servir ici

il te faut une inclusion dans le style

E0 ...?....

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:08

Comme ]-;d[E0, que ]d;+[E, et que ClE0 alors Cl]-;d[ (l'intervalle]d;+[ étant dans E).
Cl étant strictement croissante et toujours inférieure à d, elle est majorée par d
C'est mieux ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:12

quel blabla ! non tu n'as encore rien montré ! tout ça c'est de la paraphrase !

E0 est le complémentaire de E

]d ; +[  E

donc le complémentaire de  E est inclus dans ]- ; d ]

et donc

E0   ]- ; d ]

là tu peux conclure !

tu manque beaucoup de rigueur mathématique sur ce genre de problème !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:13

Ah désolé je n'avais pas encore vu votre message de 23h04 quand j'ai posté... je je vois pas trop l'intervalle qu'il faut trouver.. privé de E ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:17

bref...

11 : assez technique mais très courte quand on la prend bien

Soit L la limite de la suite (C)... qui est suite de E0

que sait-on de L ?

montre que pour tout n on a un(L) > 1

et conclus

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:26

Ld puisque c est dans E0

Pour montrer Un(L)>1 on doit utiliser une récurrence?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:29

non ! récurrence inutile... il faut simplement utiliser astucieusement les résultats obtenus précédemment !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:37

Pour l'instant je n'y arrive vraiment pas...

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:41

la suite (C) est strictement croissante et tend vers Ld

la fonction x un(x) est strictement croissante

un(Cn) = 1

tu vois pas ce que tu peux faire avec tout ça ?

Posté par
leawz
re : exercice concours général 30-03-21 à 23:44

Ah on a L>Cn puisque C est strictement croissante donc comme Un(Cn)=1
Alors Un(L)>Un(Cn)
Un(L)>1

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