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Niveau terminale
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exercice concours général

Posté par
leawz
25-03-21 à 18:22

bonjour, je m'intéressais au sujet du concours général de cette année qu'un amie ma fourni car elle a passé le concours. j'ai cependant un peut de mal vu la difficulté, pourriez vous me donner quelques pistes pour le premier exercice?

exercice 1: on considère S l'ensemble des suites (Un)n>=0 à valeurs réelles telles que Un+1 = exp(Un)/(n+1) pour tout entier n positif.
pour tout réel x on note U(x) la suite appartenant à S et dont le premier terme vaux x. on note également Un(x) le terne d'indice n de cette suite. ainsi, Uo(x)=x et U1(x)=exp(x).
1. démontrer que toute suite appartenant à S est strictement positive à partir du rang 1
2. soit (Un)n>=0 une suite appartenant à S. démontrer que, s'il existe un rang N>=2 pour lequel Un=<1, alors (Un)n>=0 converge vers 0.
3. soit (Un)n>=0 une suite appartenant à S. démontrer que, si cette suite ne converge pas vers 0, alors elle diverge vers + l'infini.

voila les 3 premières questions, il y en a d'autres mais si on peut commencer par ca ce serait déjà bien...
merci beaucoup d'avance

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 25-03-21 à 18:24

bonjour

la question 1 ne doit pas te poser beaucoup de problème... si ?

Posté par
leawz
re : exercice concours général 25-03-21 à 18:28

je dirais que comme exponentielle est toujours positif et que n+1 est également toujours positif alors Un+1 pareil, donc les suites S sont strictement positives?

Posté par
leawz
re : exercice concours général 25-03-21 à 18:29

C'est plus pour les questions suivantes que je galère 😅

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 25-03-21 à 18:32

les suites S sont strictement positives à partir du rang 1

2 :

Soit N2 tel que uN 1

montre que la suite décroit à partir du rang N

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 25-03-21 à 18:43

bon allez, un petit coup de pouce...

puisque la suite est strictement positive à partir du rang N,

montre que un+1/un < 1 pour tout nN

Posté par
leawz
re : exercice concours général 25-03-21 à 19:03

bon, je ne sais pas si je suis sur la bonne voie mais voila ce que j'ai fait:
Un+1/Un=(exp(Un)/(n+1))/Un = exp(Un)/Un(n+1)
or dans cette question a supposé que pour un rang N>=2 on aurait UN=<1,
et on sait que 0=<exp(UN)=<2,71 (environ)
et que 0=<UN(N+1)=<3
je ne sais cependant pas quoi faire après
je m'excuse d'avance si ce que j'ai fait est faux ou pas très clair...

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 25-03-21 à 19:10

fais une récurrence proprement !

qui te dit que

uN(N+1)3

????

et ne confonds pas n et N

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 25-03-21 à 19:13

et utilise les boutons prévus à cet effet pour mettre les indices et les exposants, sinon c'est illisible

Posté par
leawz
re : exercice concours général 25-03-21 à 20:13

bon je recommence alors!
on suppose que Un+1/Un< 1 et on va montrer que c'est le cas de Un+2< Un+1
on a Un+2=exp(Un+1)/n+1 =exp(eUn/n+1)/n+1

il vient ensuite Un+2/Un+1= exp(eUn/n+1)/n+1 / eUn/n+1
= exp(eUn/n+1 / eUn = exp(eUn/n+1-Un)
=eUn+1-Un
de cela on peut dire que Un+1-Un est négatif car notre hypothèse de récurrence est Un+1/Un<1 et que la suite est strictement positive
ainsi eUn+1-Un est compris entre 0 et 1 donc par récurrence un+1/un < 1 pour tout nN

voila j'espère que c'est mieux, cependant pour l'initialisation je ne sais pas quelles terme prendre... UN non?

Posté par
leawz
re : exercice concours général 25-03-21 à 20:15

Citation :
que c'est le cas de Un+2/ Un+1

Posté par
leawz
re : exercice concours général 25-03-21 à 21:40

bon, en attendant j'ai essayer de rédiger une réponse pour la question 3, si vous pouviez me donnez votre avis:
si Un ne converge pas vers 0 alors
n\{1;2} : Un>1
donc n2 : Un+1>1 (car sinon N=n+1 et (Un) converge)
eUn>n+1
d'ou eUn+
donc Un+

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 25-03-21 à 23:19

je ne comprends strictement rien à tes calculs pour "l'hérédité"...

tu as l'art de compliquer les choses à souhait et le résultat final est faux

et en plus ta récurrence n'est pas initialisée...

à refaire !

commence par montrer que c'est vrai au rang N, ce sera déjà pas mal...

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 25-03-21 à 23:20

pour la 3 ça me parait correct

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 25-03-21 à 23:26

pour l'hérédité de la 2 :

\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}} = \dfrac{e^{u_{n+1}}}{n+2} \times \dfrac{n+1}{e^{u_n}}

...

l'initialisation demande plus de travail...

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 08:48

désolé, j'ai du mal avec la récurrence

je recommence

on a Un

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 09:03

Un+2/Un+1
= exp(Un+1)/n+2 * n+1/ Exp (Un)
= eUn+1/eUn * n+1/n+2
cependant d'apres l'hypothèse de récurrence Un+1/Un<1 donc eUn+1/eUn aussi. car eUn+1/eUn = eUn+1-Un et Un+1-Un est compris entre 0 et 1 d'apres l'hypothèse de récurrence
de même, n+1/n+2 est inférieur à 1
on aurait donc bien Un+2/Un+1<1

est-ce mieux?
pour l'initialisation je ne sais vraiment pas comment faire avec N car il faurait montrer que UN+1/UN<1
on peut commencer avec UN+1/UN= (eUN/n+1)/Un mais après je bloque...

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 10:58

c'est mieux mais je ne vois pas pourquoi on aurait Un+1-Un est compris entre 0 et 1 ... ce qui est faux

c'est négatif par HR

va falloir apprendre à rédiger plus rigoureusement pour ce niveau de concours !

pour l'initialisation regarde l'application ex/x pour x entre 0 et i ... ça peut aider

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 11:08

Oui je me suis trompée, j'y ai repensé après désolé

Pour l'initialisation, que faut il faire ? Tracer le graphe de f(x)=ex/x ?
Entre 0 et 1 f est décroissante à valeur dans [e;+[ et quand x1 f(x) tend vers + , f est strictement croissante et f(x) strictement positive, mais que faire des ces informations ?
Désolé j'essaie mais je dois dire que je suis un peu perdue

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 11:34

effectivement, je suis allé un peu vite... c'est plus simple que ça !

reprenons depuis le début de la question 2

montre que sous l'hypothèse, alors pour tout nN on a 0<un1

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 11:39

cela te permettra d'encadrer un+1 et de passer à la limite

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:00

on a 0<Un1 car d'apres la question 1   0<Un et que dans la question 2 on suppose qu'il existe un rang N2 tel que Un1

on peut donc encader Un+1:
0<Un1
e0<eUne
1/n+1 Un+1 e/n+1 (on a changé le sens de l'inégalité car la fonction inverse est strict décroissante)

sauf erreur de ma part, voila pour l'encadrement.

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:03

1 : tu n'a pas démontré ce que je t'ai demandé à 11:34
2 : où vois-tu qu'on applique la fonction inverse ???

à refaire

leawz @ 26-03-2021 à 12:00

UN1

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:05

pour la limite, ici on a supposer nN soit n2
donc Un+1 serait toujours plus petit que 1 si je ne me trompe pas, mais de quoi faut il évaluer la limite Un+1/Un ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:07

oublie l'histoire du quotient et lis mes messages !

matheuxmatou @ 26-03-2021 à 11:34

effectivement, je suis allé un peu vite... c'est plus simple que ça !

reprenons depuis le début de la question 2

montre que sous l'hypothèse, alors pour tout nN on a 0<un1

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:07

et arrête de confondre n et N

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:08

pourquoi on doit démontrer que UN1, puisque dans l'énoncé je crois qu'on suppose qu'il existe un rang N>=2  tel que UN=<1 ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:09

mais bon sang, nettoie tes lunettes et lis correctement ce que je te demande !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:10

Citation :
2 : où vois-tu qu'on applique la fonction inverse ???


quand on a diviser pas n+1 pardon

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:11

bon allez j'abandonne... je reviendrai quand tu me feras des démos propres et dans l'ordre !

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 12:46

je m'excuse, mais je ne sais pas forcément comment faire j'essaie juste...

peut être que pour montrer que pour tout nN on a 0<Un1
on peut dire que s'il existe un rang UN1 (ce que l'on suppose dans la question je crois) alors UN+1 également
UN+1=eUN/n+1
cependant 0<eUNe  car 0<UN1
et 3N+1+ car N 2
donc dans tous les cas UN+1 est plus petit que 1, on aurait de même pour le terme suivant, etc
d'où 0<Un1

pardon si ce n'est pas bien rédiger et clair

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 13:29

tu peux par me faire une rédaction convaincante pour montrer par récurrence que,

sous l'hypothèse N 2 tel que uN 1

alors

n N , on a un 1

?

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 14:03

Mais ce que je ne comprends pas c'est qu'au début vous m'aviez dit de montrer par récurrence que Un+1/Un<1, et je cherchais à faire l'initialisation de cette récurrence avec les informations que vous m'aviez donner et la vous me parler d'une autre récurrence que vous me demandez de démontrer et je comprends même pas le rapport avec la question 2 parce que je ne vois pas comment cela peut nous aider à montrer que dans ce cas (Un) converge vers 0!

Posté par
carpediem
re : exercice concours général 26-03-21 à 17:53

salut

u_0 \in \R $ et u_{n + 1} = \dfrac {e^{u_n}}{n + 1}

1/ (u_n) est positive à partir du rang 1

2/ a/ montrer que la proposition P(n)  :  u_n \le 1  est héréditaire....(à partir d'un certain rang ... donné dans l'énoncé !!)
      b/ montrer que si P(n) est vraie pour un entier n (supérieur à l'entier trouvé précédemment !!) alors (u_n) tend vers 0 (utiliser le théorème des gendarmes)

3/ si (u_n) ne converge pas vers 0 alors pour tout n u_n > 1 (sinon on en revient au cas 2/) donc ...

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 18:20

ah merci je comprends mieux!
alors pour la 2.a j'ai
soit P(n) l'hypothèse de récurrence Un1
on suppose que P(n) est vrai et montrons que P(n+1) l'est aussi.
Un+11 eUn/n+1 1
on a 0eUne d'après l'hypothèse de récurrence car on a supposer que 0Un1
donc pour que eUnn+1 il faut que n+1e soit n2 car n est entier
donc pour n2, Un+11
est-ce cela? parce qu'ici j'ai montrer que la propriété P(n) est héréditaire, mais je n'ai pas fait d'initialisation non ?

par contre pour le b du 2 je ne vois pas trop comment faire et par où il faut commencer...

Posté par
carpediem
re : exercice concours général 26-03-21 à 18:37

donc tu as montré que pour n >= 2 la propriété P(n) est héréditaire

pour l'initialisation c'est dit dans la question pour montrer que la limite tend vers 0 ...

on suppose donc qu'il existe un entier N tel que P(N) est vraie

alors maintenant on sait que P(n) est vraie pour tout n >= N

maintenant il faut montrer que u_n tend vers 0

je te laisse réfléchir ...

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 18:47

justement, j'y réfléchis depuis tout l'heure etvoilà ce que j'ai fait:
on a 0 Un1
d'ou e0 eUn e
1/n+1 Un+1 e/n+1
or quand pon fait tendre n vers +, 1/n+1 et e/n+1 tendent tous deux vers 0! donc d'apres le théorème des gendrames Un+1 0

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 18:52

leawz

qu'est ce que tu ne comprends pas dans le message de 11:34 : reprenons depuis le début pour la question 2 ?

leawz @ 26-03-2021 à 18:47


on a 0 Un1
d'ou e0 eUn e
1/n+1 Un+1 e/n+1


on ne te demande pas une limite... on te demande de montrer que u[sub]n+1/sub]1

tu sais ce que c'est qu'une récurrence ?

ensuite on verra pour la limite

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 18:54

et 12:07 : oublie cette histoire qu quotient ... l'idée n'était pas bonne

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 18:59

carpediem

pour la 3, il y a déjà répondu correctement

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 18:59

leawz @ 26-03-2021 à 18:20


soit P(n) l'hypothèse de récurrence Un1
on suppose que P(n) est vrai et montrons que P(n+1) l'est aussi.
Un+11 eUn/n+1 1
on a 0eUne d'après l'hypothèse de récurrence car on a supposer que 0Un1
donc pour que eUnn+1 il faut que n+1e soit n2 car n est entier
donc pour n2, Un+11


ici j'ai montrer que Un+11 par récurrence non ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 19:01

bon bref, admettons que tu aies fait correctement la récurrence  !

personnellement je n'ai vu aucune récurrence correctement rédigée du début à la fin !

donc ensuite oui, on encadre un+1 comme tu l'as fait et les théorème des gendarmes nous donc une limite nulle.

fin de l'histoire pour les questions 1-2-3

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 19:04

D'accord, pourriez-vous m'expliquer alors pourquoi ce n'est pas bien rédiger correctement ?car je ne sais pas comment faire différemment pour que ce soit mieux, mais si vous avez des remarques je suis preneuse !

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 19:05

non, pour moi ce n'est pas "propre" !

HR : un 1

donc, puisque n+1 N+1 3, on a

un+1 = ... eun / (n+1) e / (n+1) e/3 1

là c'est démontré !

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 19:06

(l'inégalité de gauche est une égalité...)

Posté par
matheuxmatou
re : exercice concours général 26-03-21 à 19:07

à toi de remettre tout dans l'ordre de façon rigoureuse

Posté par
carpediem
re : exercice concours général 26-03-21 à 19:21

matheuxmatou : en fait sa récurrence est convenable !!

elle ne consiste qu'en ses trois dernières lignes !!

leawz @ 26-03-2021 à 18:20


soit P(n) l'hypothèse de récurrence la proposition : Un1
on suppose que P(n) est vraie pour un entier n et montrons que P(n+1) l'est aussi. blabla car on sait que c'est ce qu'on veut !!!
Un+11 eUn/n+1 1  blabla car on le sait depuis le début à quoi est égal u_{n + 1}
on a on en déduit que 0 eUne d'après l'hypothèse de récurrence car on a supposer que 0Un1
donc pour que eUnn+1 il faut que n+1e soit n2 car n est entier oui car on veut que la propriété soit héréditaire et elle ne le sera qu'à cette condition nécessaire
donc pour n2, Un+11
même si je suis d'accord je ne rédigerai pas tout à fait de cette façon ... en particulier parce que ici on nous donne à partir de quand elle est héréditaire (une condition suffisante ... qui s'avère nécessaire ... mais on on peut très bien prendre 10 à la place de 2 ...

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 19:35

J'ai compris, et je vois la différence avec ma « démonstration »!
Je vous mets la suite de l'énoncé:
Ci-dessous on note E0 L'ensemble des réels x pour lequel la suite U(x) converge vers 0, et E L'ensemble des réels x pour lesquels U(x) diverge vers plus l'infini.

4) démontrer que 0 E0

5)a. Démontrer, pour tout entier n positif ou nul, que la fonction x Un(x) est strictement croissante sur

b. En déduire que si x est un élément de E0, alors l'intervalle ]-, x] est inclus dans E0

6)a. Démontrer que la fonction x exp(x) -x(x+1) est strictement positif sur l'intervalle [2;+[

b. Soit (Un)n0 une suite apparemment à S. Démontrer que s'il existe un rang N1 pour lequel UNN+1, alors (Un) n0 diverge vers plus l'infini

c. Démontrer que 1 E

7) démontrer que si x est un élément de E, alors l'intervalle [x,+[ est inclus dans E

Voilà, c'est l'avant dernière partie de l'exercice

Posté par
leawz
re : exercice concours général 26-03-21 à 19:45

j'ai juste essayer de faire une réponse pour la 4:
on considère la suite définie par U0(0)=0 et Un+1(0)= eUn(0)/n+1
et a la calculatrice j'ai U4 0,91 <1 donc d'apres la question 2 U(0) 0

Posté par
carpediem
re : exercice concours général 26-03-21 à 20:10

si u_0 = 0 que vaut u_1 ?

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