bonjour, je m'intéressais au sujet du concours général de cette année qu'un amie ma fourni car elle a passé le concours. j'ai cependant un peut de mal vu la difficulté, pourriez vous me donner quelques pistes pour le premier exercice?
exercice 1: on considère S l'ensemble des suites (Un)n>=0 à valeurs réelles telles que Un+1 = exp(Un)/(n+1) pour tout entier n positif.
pour tout réel x on note U(x) la suite appartenant à S et dont le premier terme vaux x. on note également Un(x) le terne d'indice n de cette suite. ainsi, Uo(x)=x et U1(x)=exp(x).
1. démontrer que toute suite appartenant à S est strictement positive à partir du rang 1
2. soit (Un)n>=0 une suite appartenant à S. démontrer que, s'il existe un rang N>=2 pour lequel Un=<1, alors (Un)n>=0 converge vers 0.
3. soit (Un)n>=0 une suite appartenant à S. démontrer que, si cette suite ne converge pas vers 0, alors elle diverge vers + l'infini.
voila les 3 premières questions, il y en a d'autres mais si on peut commencer par ca ce serait déjà bien...
merci beaucoup d'avance
je dirais que comme exponentielle est toujours positif et que n+1 est également toujours positif alors Un+1 pareil, donc les suites S sont strictement positives?
les suites S sont strictement positives à partir du rang 1
2 :
Soit N2 tel que uN 1
montre que la suite décroit à partir du rang N
bon allez, un petit coup de pouce...
puisque la suite est strictement positive à partir du rang N,
montre que un+1/un < 1 pour tout nN
bon, je ne sais pas si je suis sur la bonne voie mais voila ce que j'ai fait:
Un+1/Un=(exp(Un)/(n+1))/Un = exp(Un)/Un(n+1)
or dans cette question a supposé que pour un rang N>=2 on aurait UN=<1,
et on sait que 0=<exp(UN)=<2,71 (environ)
et que 0=<UN(N+1)=<3
je ne sais cependant pas quoi faire après
je m'excuse d'avance si ce que j'ai fait est faux ou pas très clair...
et utilise les boutons prévus à cet effet pour mettre les indices et les exposants, sinon c'est illisible
bon je recommence alors!
on suppose que Un+1/Un< 1 et on va montrer que c'est le cas de Un+2< Un+1
on a Un+2=exp(Un+1)/n+1 =exp(eUn/n+1)/n+1
il vient ensuite Un+2/Un+1= exp(eUn/n+1)/n+1 / eUn/n+1
= exp(eUn/n+1 / eUn = exp(eUn/n+1-Un)
=eUn+1-Un
de cela on peut dire que Un+1-Un est négatif car notre hypothèse de récurrence est Un+1/Un<1 et que la suite est strictement positive
ainsi eUn+1-Un est compris entre 0 et 1 donc par récurrence un+1/un < 1 pour tout nN
voila j'espère que c'est mieux, cependant pour l'initialisation je ne sais pas quelles terme prendre... UN non?
bon, en attendant j'ai essayer de rédiger une réponse pour la question 3, si vous pouviez me donnez votre avis:
si Un ne converge pas vers 0 alors
n\{1;2} : Un>1
donc n2 : Un+1>1 (car sinon N=n+1 et (Un) converge)
eUn>n+1
d'ou eUn+
donc Un+
je ne comprends strictement rien à tes calculs pour "l'hérédité"...
tu as l'art de compliquer les choses à souhait et le résultat final est faux
et en plus ta récurrence n'est pas initialisée...
à refaire !
commence par montrer que c'est vrai au rang N, ce sera déjà pas mal...
Un+2/Un+1
= exp(Un+1)/n+2 * n+1/ Exp (Un)
= eUn+1/eUn * n+1/n+2
cependant d'apres l'hypothèse de récurrence Un+1/Un<1 donc eUn+1/eUn aussi. car eUn+1/eUn = eUn+1-Un et Un+1-Un est compris entre 0 et 1 d'apres l'hypothèse de récurrence
de même, n+1/n+2 est inférieur à 1
on aurait donc bien Un+2/Un+1<1
est-ce mieux?
pour l'initialisation je ne sais vraiment pas comment faire avec N car il faurait montrer que UN+1/UN<1
on peut commencer avec UN+1/UN= (eUN/n+1)/Un mais après je bloque...
c'est mieux mais je ne vois pas pourquoi on aurait Un+1-Un est compris entre 0 et 1 ... ce qui est faux
c'est négatif par HR
va falloir apprendre à rédiger plus rigoureusement pour ce niveau de concours !
pour l'initialisation regarde l'application ex/x pour x entre 0 et i ... ça peut aider
Oui je me suis trompée, j'y ai repensé après désolé
Pour l'initialisation, que faut il faire ? Tracer le graphe de f(x)=ex/x ?
Entre 0 et 1 f est décroissante à valeur dans [e;+[ et quand x1 f(x) tend vers + , f est strictement croissante et f(x) strictement positive, mais que faire des ces informations ?
Désolé j'essaie mais je dois dire que je suis un peu perdue
effectivement, je suis allé un peu vite... c'est plus simple que ça !
reprenons depuis le début de la question 2
montre que sous l'hypothèse, alors pour tout nN on a 0<un1
on a 0<Un1 car d'apres la question 1 0<Un et que dans la question 2 on suppose qu'il existe un rang N2 tel que Un1
on peut donc encader Un+1:
0<Un1
e0<eUne
1/n+1 Un+1 e/n+1 (on a changé le sens de l'inégalité car la fonction inverse est strict décroissante)
sauf erreur de ma part, voila pour l'encadrement.
1 : tu n'a pas démontré ce que je t'ai demandé à 11:34
2 : où vois-tu qu'on applique la fonction inverse ???
à refaire
pour la limite, ici on a supposer nN soit n2
donc Un+1 serait toujours plus petit que 1 si je ne me trompe pas, mais de quoi faut il évaluer la limite Un+1/Un ?
oublie l'histoire du quotient et lis mes messages !
pourquoi on doit démontrer que UN1, puisque dans l'énoncé je crois qu'on suppose qu'il existe un rang N>=2 tel que UN=<1 ?
je m'excuse, mais je ne sais pas forcément comment faire j'essaie juste...
peut être que pour montrer que pour tout nN on a 0<Un1
on peut dire que s'il existe un rang UN1 (ce que l'on suppose dans la question je crois) alors UN+1 également
UN+1=eUN/n+1
cependant 0<eUNe car 0<UN1
et 3N+1+ car N 2
donc dans tous les cas UN+1 est plus petit que 1, on aurait de même pour le terme suivant, etc
d'où 0<Un1
pardon si ce n'est pas bien rédiger et clair
tu peux par me faire une rédaction convaincante pour montrer par récurrence que,
sous l'hypothèse N 2 tel que uN 1
alors
n N , on a un 1
?
Mais ce que je ne comprends pas c'est qu'au début vous m'aviez dit de montrer par récurrence que Un+1/Un<1, et je cherchais à faire l'initialisation de cette récurrence avec les informations que vous m'aviez donner et la vous me parler d'une autre récurrence que vous me demandez de démontrer et je comprends même pas le rapport avec la question 2 parce que je ne vois pas comment cela peut nous aider à montrer que dans ce cas (Un) converge vers 0!
salut
1/ (u_n) est positive à partir du rang 1
2/ a/ montrer que la proposition est héréditaire....(à partir d'un certain rang ... donné dans l'énoncé !!)
b/ montrer que si P(n) est vraie pour un entier n (supérieur à l'entier trouvé précédemment !!) alors (u_n) tend vers 0 (utiliser le théorème des gendarmes)
3/ si (u_n) ne converge pas vers 0 alors pour tout n (sinon on en revient au cas 2/) donc ...
ah merci je comprends mieux!
alors pour la 2.a j'ai
soit P(n) l'hypothèse de récurrence Un1
on suppose que P(n) est vrai et montrons que P(n+1) l'est aussi.
Un+11 eUn/n+1 1
on a 0eUne d'après l'hypothèse de récurrence car on a supposer que 0Un1
donc pour que eUnn+1 il faut que n+1e soit n2 car n est entier
donc pour n2, Un+11
est-ce cela? parce qu'ici j'ai montrer que la propriété P(n) est héréditaire, mais je n'ai pas fait d'initialisation non ?
par contre pour le b du 2 je ne vois pas trop comment faire et par où il faut commencer...
donc tu as montré que pour n >= 2 la propriété P(n) est héréditaire
pour l'initialisation c'est dit dans la question pour montrer que la limite tend vers 0 ...
on suppose donc qu'il existe un entier N tel que P(N) est vraie
alors maintenant on sait que P(n) est vraie pour tout n >= N
maintenant il faut montrer que u_n tend vers 0
je te laisse réfléchir ...
justement, j'y réfléchis depuis tout l'heure etvoilà ce que j'ai fait:
on a 0 Un1
d'ou e0 eUn e
1/n+1 Un+1 e/n+1
or quand pon fait tendre n vers +, 1/n+1 et e/n+1 tendent tous deux vers 0! donc d'apres le théorème des gendrames Un+1 0
leawz
qu'est ce que tu ne comprends pas dans le message de 11:34 : reprenons depuis le début pour la question 2 ?
bon bref, admettons que tu aies fait correctement la récurrence !
personnellement je n'ai vu aucune récurrence correctement rédigée du début à la fin !
donc ensuite oui, on encadre un+1 comme tu l'as fait et les théorème des gendarmes nous donc une limite nulle.
fin de l'histoire pour les questions 1-2-3
D'accord, pourriez-vous m'expliquer alors pourquoi ce n'est pas bien rédiger correctement ?car je ne sais pas comment faire différemment pour que ce soit mieux, mais si vous avez des remarques je suis preneuse !
non, pour moi ce n'est pas "propre" !
HR : un 1
donc, puisque n+1 N+1 3, on a
un+1 = ... eun / (n+1) e / (n+1) e/3 1
là c'est démontré !
matheuxmatou : en fait sa récurrence est convenable !!
elle ne consiste qu'en ses trois dernières lignes !!
J'ai compris, et je vois la différence avec ma « démonstration »!
Je vous mets la suite de l'énoncé:
Ci-dessous on note E0 L'ensemble des réels x pour lequel la suite U(x) converge vers 0, et E L'ensemble des réels x pour lesquels U(x) diverge vers plus l'infini.
4) démontrer que 0 E0
5)a. Démontrer, pour tout entier n positif ou nul, que la fonction x Un(x) est strictement croissante sur
b. En déduire que si x est un élément de E0, alors l'intervalle ]-, x] est inclus dans E0
6)a. Démontrer que la fonction x exp(x) -x(x+1) est strictement positif sur l'intervalle [2;+[
b. Soit (Un)n0 une suite apparemment à S. Démontrer que s'il existe un rang N1 pour lequel UNN+1, alors (Un) n0 diverge vers plus l'infini
c. Démontrer que 1 E
7) démontrer que si x est un élément de E, alors l'intervalle [x,+[ est inclus dans E
Voilà, c'est l'avant dernière partie de l'exercice
j'ai juste essayer de faire une réponse pour la 4:
on considère la suite définie par U0(0)=0 et Un+1(0)= eUn(0)/n+1
et a la calculatrice j'ai U4 0,91 <1 donc d'apres la question 2 U(0) 0
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