Bonjour, je n'arrive pas du tout à resoudre cet exercice pourriez-vous m'aider ?


Soit X une partie non vide de R, on suppose que X est un ouvert de R c'est à dire :

pour tout x appartenant à X il existe r appartenant à R*+ tel que ]x-r,x+r[ INCLUS dans X (1)

1. Montrer que (1) équivaut à :

  pour tout x appartenant à X il existe r appartenant à Q*+ tel que ]x-r,x+r[ INCLUS dans X


2.Soit xo appartenant a R et r>0 montrer que si x appartient à ]xo-r,xo+r[, alors ]x-r,x+r[ INCLUS dans ]xo-2r,xo+2r[

3. Posons I = {(x,r) appartenant à QXQ+* :]x-r,x+r[INCLUS dans X} et on considère le sous ensemble Y de R defini par :
Y = U]x-r,x+r[

  3.1 Montrer que Y est inclus dans X
  3.2 Montrer en vous aidant de la question 2 que :  pour tout xo appartenant a X, il existe(x,r) appartenant à I tels que xo appartient à ]x-r,x+r[

  3.3 Deduire que X est inclus dans Y


Voila si vous avez des idées.. Merci