Bonjour,
As-tu essayé de faire une figure ? Par exemple avec 5 fleurs sur la longueur et 3 sur la largeur ?
On cherche le nombre minimum, avec « une à chaque coin » ; le minimum est donc supérieur ou égal à 4 .
Par ailleurs, le nombre de fleurs est pair.
En effet, 2+x sur chacune des deux largeurs et 2+y sur chacune des deux longueurs. En tout : 4+2x+2y .
Si 4 ne peut pas convenir, essayer 6 , 8 , 10 ...

Mais ainsi, je ne réponds pas à la première question "Quelles sont les différentes possibilités pour l'écart entre deux fleurs?"

J'ai fini par trouver laborieusement un résultat. Mais pas vraiment avec des méthodes niveau 3ème ...

En notant m le nombre de fleurs sur la longueur, et n le nombre sur la largeur du rectangle. On a m > n .
Avec r le rayon des fleurs, et d la distance entre deux fleurs.
On peut écrire 2 équations :
2mr + (m-1)d = 770
2nr + (n-1)d = 462

Par élimination, on peut trouver r et d en fonction de m et n :
r = 77(3m-5n+2) / (m-n) et d = 154(5n-3m) / (m-n)

r > 0 et d 0 donne 0 5n-3m < 2

Avec m et n entiers, 5n-3m n'est pas égal à 0 ; ne reste donc que 5n-3m = 1 .

A partir de là, on peut trouver 2+3k et 3+5k pour n et m .

Quelqu'un trouvera sans doute plus simple

Bonjour à vos deux
obey69

Bonjour mijo,
Je ne comprends pas très bien ton message. Pourquoi 154 serait l'écartement maximum ? Même après une bonne nuit, je ne vois pas plus que obey69 comment faire intervenir le PGCD. Il y a sans doute une évidence qui nous échappe

Perso, je trouve 6 comme nombre minimum de fleurs, avec 2 sur la largeur et 3 sur la longueur. Et effectivement l'écartement est alors 154 .
Il n'est pas précisé que rayon et écartement sont des entiers...

Bonjour  Sylvieg

Merci mijo pour ta réponse.
J'ai interprété "Tout autour " et " Elle veut en mettre une à chaque coin " avec des cercles représentant les fleurs tangents aux côtés du rectangle, à l'intérieur du cadre.
J'ai l'impression que ton interprétation ne fait pas intervenir le rayon dont parle l'énoncé dans l'indication.

J'obtiens le même partage que toi : La longueur en 5 segments et la largeur en 3 segments, tous de même longueur 154mm.
Mais mes 5 segments comportent 3 fleurs de diamètre 154 avec un espace libre de 154 entre elles. Idem pour mes 3 segments avec 2 fleurs.

Sylvieg
Moi j'ai interprété l'énoncé avec les fleurs placées sur les points autour du rectangle.
Quant au diamètre des cercles représentant les fleurs, je ne vois pas très bien, les points en question seraient-ils le centre des cercles ?
si oui, dans le cas de mon dessin leur diamètre pourrait varier de 0 à 154 mm, ils seraient tangents pour cette dernière valeur.
Je ne sais pas si obey69 peut nous éclairer un peu sur la question pour savoir qui de nous deux est dans le vrai.

Pour mieux voir :

Sylvieg
J'avais bien compris, mais ce qui me fait aussi douter que ce soit ça, c'est qu'au niveau 3 ème on a déjà eu des topics de ce genre avec des arbres. Mais sait-on jamais, c'est peut-être toi qui a raison car le diamètre des cercles est ainsi bien défini.

Je ne pense pas que l'un est plus raison que l'autre. L'énoncé n'est pas assez précis.
Peut-être est-il accompagné d'une figure ?
Ce qui m'interpelle c'est l'indication :

obey69, s'est levé très tôt ou couché très tard ( 17-06-18 à 00:33), ce qui pourrait expliquer son manque de réaction.

Bonjour,
@obey69,
D'où vient cet énoncé ? Est-il accompagné d'une figure ?

Bonjour!!

Je suis vraiment désolé de mon absence... ^^'
Cet exercice m'a un peu fait désespéré du coup j'ai arrêté de réviser l'arithmétique depuis dimanche :p  

Je viens de relire vos explications que j'ai parfaitement comprises.
Je pense que la méthode mijo est la bonne car il faut absolument faire intervenir la notion de pgcd dans cet exercice.
Du coup Vous avez répondu aux deux questions de l'énoncé:
- Quelles sont les différentes possibilités pour l'écart entre deux fleurs?
Il faut faire la liste des diviseurs communs comme l'a très bien trouvé mijo soit
2, 7, 11,14, 22, 77 et 154 mm
- Quel serait le minimum de fleurs qu'elle puisse mettre?
Il faut prendre le plus grand écart possible c'est a dire le PGCD
Soit le nombre minimum de fleur est 16.

et pour le rayon, je suis d'accord l'énoncé n'est pas clair mais a mon avis, vu que c'est un niveau collège, ils doivent considérer que les cercles (fleurs) se touchent...
donc le rayon serait égale à d/2 avec d un diviseur commun de 770 et 462.
si on prend comme diviseur commun 2 on aura 284 fleurs de diamètre 2mm soit R=2/2=1mm de rayon.

Vous êtes d'accord?

C'est la seule possibilité... il manque des données pour faire autre chose...

Il n'y avait aucune figure associée... C'est un exercice qu'une amie m'a passé et qu'elle n'a pas réussi à résoudre mais je ne sais pas où est ce qu'elle l'a eu...
je lui demanderai d'ailleurs ahah xp

Bonsoir obey69,
Pas de problème pour la réaction tardive
Je me suis bien amusée avec ces fleurs.
Je regarderai mieux ton message demain.

Bonjour,

Dans une autre rubrique sylvieg conseille cet exercice.
l'important est de trouver le pgcd de 770 et 462 soit 154 mm

On trouve deux cas limites
a) 3 fois  2  marguerites (cercle ou carré) de dimension 154 mm avec espaces 154 mm
b) 5 fois 3  de dimensions 154mm avec espaces  0 mm.

On constate ainsi que le rapport entre le nombre dans le sens de la longueur
et le sens de la largeur est compris entre 1.5 et 1.66 (3/2) .
On ne retient bien sûr que les cas entiers.

EXEMPLE  21 ET 13
Si on écrit l' équation de ces deux
soit d la dimension  soit e l'espace on a:
21d+20e=770
13d+12e=462
8(d+e)=308
Cela pose la question de savoir si on veut des données entières ou non.
Avec données entières cet exemple ne peut convenir car 308 n'est pas multiple de 8
Je chercherai des cas qui  peuvent convenir mais j'ai quelques doutes.
Comme l'a démontré mijo les diviseurs à choisir sont:
2  4  7  11  14

Bonjour,
@obey69, je suis d'accord avec le minimum 16 si on choisit l'interprétation de mijo.
D'accord aussi pour que tu cherches l'origine de l'énoncé et vérifies qu'il n'était pas accompagné d'une figure.
@dpi, merci pour ta réponse.
Tu as choisi mon interprétation ; ce qui me permets de m'apercevoir que j'ai fait une erreur grossière :

"des cas qui peuvent convenir" : 23 et 14 , 20 et 12 ( pour rester près de 21 et 13 )

Finalement, j'ai transformé cet exercice en énigme. Ça me démangeait depuis un petit moment !

Bonjour,

Avec des espaces et des diamètres en nombres entiers en millimètres il n'y a que 2 solutions :

Diamètre : 154
Espace : 154
Nombre : 3x2 (voir Silvieg)

Diamètre : 22
Espace : 22
Nombre : 18x11 (pas mécontent de l'avoir trouvé)

Bonsoir,
En "bouchant" certains trous de mon dessin, on peut aussi trouver m = 3+2 avec n= 2+1 .
L'espace est alors réduit à 0 qui est bien un nombre entier de millimètres...
Idem pour ton autre trouvaille : 18+17 avec 11+10

Bonjour,
Il y a beaucoup plus de cas en fait... Au moins 8.
Par exemple m = 385 avec n = 231 où l'espace est nul.
Comme m et n sont impairs, on peut en déduire m = 193 et n = 116 où les cercles sont séparés par un espace égal à leur diamètre.

Avec des espaces et des diamètres en nombres entiers en millimètres, je trouve 24 solutions en tout ( 16 avec un espace nul, 8 avec espace et diamètre identiques ).
Sauf erreur...

Bonjour,
Sans compter les cas à espace nul (arithmétique...) ta liste
nous intéresse.
Je n'ai trouvé aucun cas à espace différent du diamètre.

Bonjour,
Normal de ne pas trouver de tels cas. Il n'y en a aucun.
Soit d = e , soit e = 0 avec d diamètre des fleurs et e espace vide entre les fleurs.
Voir Dites-le avec des fleurs !
Pour la liste, soit tu la trouves en utilisant les réponses dans l'autre sujet, soit tu attends jusque mardi car je ne vais plus être disponible avant.