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exercice d'application du théorème de Borel-Cantelli

Posté par izaabelle (invité) 26-06-07 à 15:43

bonjour

j'étais entrain de bosser sur un petit exo qui me semble évident et c'est déroutant :-/ . je ne suis pas sûre de la rigeur de mon raisonnement, d'ailleurs je me sens incapable d'écrire un raisonnement mathématique propre sur le sujet. voici l'énoncé:
soit a_i des nombres positifs inférieurs à 1, si la série de terme générale a_i est divergente, alors \prod_{k=n_0}^\infty (1-a_i)=0 et ceci quelque soit n_0. je me suis dit que comme on veut montrer que le produit égal à 0, il suffisait de trouver un terme qui s'annule, i.e. \exists i_0 tel que a_{i_0}=1.

sachant que le théorème de Borel Cantelli que je veux utiliser est: si \sum_n P(A_n)= \infty et si les événements sont indépendans, alors: A(limsupA_n)=P(\cap_{n\ge 0} \cup_{k\ge n}A_k)=1.

en voyant que les a_i de l'exercice sont entre 0 et 1 , j'ai tout de suite pensé à une probabilité, considérer des évenements tel que: P(A_i)=a_i mais les A_i soivent être indépendants pour appliquer le théorème, voilà mon premier problème. le deuxième c'est qu'intuitivement  ça me parait clair, comme on a une intersection de réunion, c'est comme si on avait \forall n \exists k \ge n donc ce n correspond au n_0 de l'exercice. donc tout ça me parait évident mais c'est bien ça mon problème :-/ je ne sais pas du tout comment faire une rédaction propre et rigoureuse sur le sujet

merci de m'avoir lu, j'espère avoir été claire

Posté par
kaiser Moderateurre : exercice d'application du théorème de Borel-Cantelli 26-06-07 à 16:09

Bonjour izaabelle

si le produit est nul, ça ne veut pas dire que l'un terme vaut 1.
Contre-exemple : \Large{a_{i}=\frac{1}{i+1}}.
De plus, est-il explicitement demandé d'utiliser Borel-Cantelli ? (car on peut s'en sortir autrement)

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : exercice d'application du théorème de Borel-Cantelli 26-06-07 à 16:10

euh pardon : \Large{a_{i}=1-\frac{1}{i+1}}

Kaiser

Posté par izaabelle (invité)re : exercice d'application du théorème de Borel-Cantelli 26-06-07 à 16:25

je n'avais pas pensé à ça kaiser, merci de me l'avoir fait remarquer, est ce que c'est le fait que le produit est infini qu'on peut dire ceci? (non mais parce que généralement, quand je ne me souci pas du fait que l'anneau soit intègre ou pas, ça me parait normal de dire que l'un des termes est nul, mais je suppose que le fait qu'on ait un produit infini fausse mon raisonnement)je veux utiliser Borel Cantelli car comme l'exo est posé juste après le théorème, c'est normal qu'on y applique le théorème mais sinon ça m'intéresserais de voir comment on pourrais le montrer sans l'utiliser.

merci de m'avoir répondu

P.S.: y a un truc qui me gêne dans l'écriture a_i=1-\frac{1}{1+i} c'est le fait qu'on retrouve le i à l'intérieur! :-/ je comprend bien que pour i assez grand le terme 1-a_i tende vers 0 mais j'ai quand même un peu de mal à l'imaginer

Posté par
kaiser Moderateurre : exercice d'application du théorème de Borel-Cantelli 26-06-07 à 16:37

Citation :
est ce que c'est le fait que le produit est infini qu'on peut dire ceci?


Lorsque l'on a un produit infini nul, justement, on ne peut rien dire en général. Il peut y avoir un terme nul ou pas.

Citation :
quand je ne me souci pas du fait que l'anneau soit intègre ou pas, ça me parait normal de dire que l'un des termes est nul, mais je suppose que le fait qu'on ait un produit infini fausse mon raisonnement


Non, on ne peut pas adopter ce raisonnement, que l'anneau soit intègre ou pas.

Citation :
je veux utiliser Borel Cantelli car comme l'exo est posé juste après le théorème, c'est normal qu'on y applique le théorème


OK !

Citation :
mais sinon ça m'intéresserais de voir comment on pourrais le montrer sans l'utiliser.


on a affaire à une série à termes positifs qui diverge. Question : de quelle manière diverge-t-elle ?
Ensuite, considère le produit fini (plutôt son log) et étudie sa limite.

Citation :
y a un truc qui me gêne dans l'écriture a_i=1-\frac{1}{1+i} c'est le fait qu'on retrouve le i à l'intérieur!


C'est-à-dire ?

Citation :
je comprend bien que pour i assez grand le terme 1-a_i tende vers 0 mais j'ai quand même un peu de mal à l'imaginer


on a \Large{1-a_{i}=\frac{1}{i+1}} qui tend vers 0, non ?

Kaiser

Posté par
stokastikre : exercice d'application du théorème de Borel-Cantelli 26-06-07 à 18:45

Citation :
[...] j'ai tout de suite pensé à une probabilité, considérer des évenements tel que [...]


Tu as eu le bon réflexe

Voilà ce que je propose pour construire les A_i (mais je n'ai pas encore réfléchi à la suite):


Soient des a_i \in [0,1] pour i=0,1,\ldots.

On considère une suite de variables aléatoires indépendantes (U_i) chacune de loi uniforme sur [0,1]. On définit alors A_i = \{U_i \in [0,a_i]\}.

Alors les événéments A_i sont indépendants et P(A_i)=a_i.

Posté par
stokastikre : exercice d'application du théorème de Borel-Cantelli 26-06-07 à 18:47

... et maintenant que j'ai réfléchi à comment en déduire la proposition de l'exercice, je te laisse ce plaisir

Posté par izaabelle (invité)re : exercice d'application du théorème de Borel-Cantelli 26-06-07 à 18:59

ok merci pour tout kaiser, j'en prend note et je m'en vais essayer avec ce que tu m'as proposé

Posté par
kaiser Moderateurre : exercice d'application du théorème de Borel-Cantelli 26-06-07 à 19:08


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