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exercice d arithmetique
Posté par AZER1957
Bonjour
prière m aider à resoudre cette équation
résoudre ds N² l ' équation x²(x²+7)=y(2x+y) (*)
ce que j ai fait
posons PGCD(x,y)=d donc il existe aet b premiers entre eux tq x=ad et y=bd
en remplacant dans (*) on obtiend a²(d²a²+7)=b(2a+b)
on peut facilement montrer que b et a² sont premiers entre eux et en utilisant Gauss
il existe t entier tq d²a²+7=tb et 2a+b=ta² ....
et merci
bonjour...
juste en passant une idée un peu différente :
x²(x²+8) = (x+y)²
donc x²+ 8 est un carré
ce qui donne peu de possibilité pour x vu que (n+1)² - n² = 2n+1 > 8 dès que n > 3
il me semble...
AZER1957 @ 21-04-2021 à 19:20
salut
a premier avec b et a|b donc a=1
ok ... et la suite ?
salut
a premier avec b et a|b donc a=1
PS : et arrête avec ces | peu clairs : ce n'est quand même pas insurmontable d'écrire divise en toute lettres !!!
on peut faire beaucoup mieux avec cette idée que j'avais dès le début ...
mais pour l'instant il serait bien de finir ...
salut
je termine (b+1)²=d²+8 donc (b+1+d)(b+1-d)=8
les diviseurs de 8 sont 1,2,4,8,-1,-2,-4,-8 et vu que (b+1+d)>(b+1-d) et ont la meme parité
donc (b+1+d)=4 et(b+1-d)=2 ou (b+1+d)=-2et(b+1-d)=-4
donc b=2 ou b=-4
salut
j ai oublié sylvieg que x; y sont des entiers naturels
donc b=2 et par suite d=1
donc (1,2) est la seule solution de (*)
salut
en utilisant l' idée de matheuxmatouon a x²(x²+8) = (x+y)²
donc x²+8 est un carré parfait posons x²+8=t² donc (t-x)(t+x)=8
(t-x)et(t+x) ont la meme paritée et(t-x)<(t+x)
donc (t-x)=2 et (t+x)=4 et parsuite x=1 en remplacant ds (*) on aura y=2
Bonjour,
Je préfère la solution avec le pgcd.
Il me semble que,dans l'autre, le donc dans "donc x2+8 est un carré parfait" devrait être un peu explicité.
ce que tu as fait à 21h24 peut être fait dès le départ avec l'équation initiale sans passer par le pgcd :
pour toute décomposition il suffit alors de résoudre le système :
sachant qu'on a immédiatement par soustraction
si a - b est impair c'est fini
si a - b est pair alors et résoudre une équation du second degré en x
qu'on utilise la première ou la seconde équation du système on tombe sur une équation du type
Je viens de remarquer que le couple (0,0) est solution de x2(x2+7)=y(2x+y) 
Ça m'est apparu avec le message de carpediem, quand j'ai voulu écrire b < a .
Solution que je trouve très séduisante par ailleurs !
Moralité : C'est mieux de parler de pgcd avec des entiers non nuls 
Sylvieg @ 22-04-2021 à 08:25
Il me semble que,dans l'autre, le donc dans "donc x2+8 est un carré parfait" devrait être un peu explicité.
Il me semble que,dans l'autre, le donc dans "donc x2+8 est un carré parfait" devrait être un peu explicité.
effectivement, je ne détaillais pas tout !
mais bon, avec la décomposition en facteurs premiers, il est clair que dans x²+8 ils sont tous à une puissance paire.
j'avais lu dans
* moi ! effectivement il faut déjà éliminer le (0;0) qui n'a pas de décomposition en facteurs premiers.