Niveau terminale

exercice d arithmetique

Posté par AZER1957 22-04-21 à 19:54

bonsoir
prière m 'aider à résoudre cet exercice

a  et b deux entiers naturels premiers entre eux
$n=a^4+b^4$ p un nombre premier positif et impair qui divise n
1) montrer que  p premier avec  a et b
2) montrer qu il existe c entier  tq ac congru à -1 mod (p)
3) en déduire qu il existe x entier tq   $x^4$ congru à -1 mod (p)
ce que j ai pu faire
1)posons PGCD (a,p)=d
ona d divise   a  et d divise   p
d divise   p et p divise  n donc   d  divise   $n=a^4+b^4$
d   divise a   donc    d divise   $a^4$
d  divise   $n=a^4+b^4$ et    d  divise   $a^4$    donc  d divise   $b^4$
donc   d divise  PGCD( $a^4$ , $b^4$ )= $PGCD(a,b)^4=1$

Posté par re : exercice d arithmetique 22-04-21 à 20:21

salut

vu que p est premier je ne vois pas l'intérêt de parler de pgcd de a et p

puisque les seuls diviseurs de p sont 1 et p...

si p divise a alors p divise a^4

or p divise n donc p divise b^4 = n - a^4 (par combinaison linéaire) donc p divise b (puisque p est premier ...)

donc p divise a et b ce qui est contradictoire avec le fait que a et b sont premiers entre eux ...

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