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Niveau terminale
Exercice d'arithmétique
Posté par Aldebarran
Bonjour,
J'ai besoin d'un peu d'aide pour un exercice, surtout pour la question 4) qui est nécessaire pour pouvoir terminer.
Énoncé :
On considère l'équation 51x - 26y = 1
1. Justifier que cette équation admet au moins un couple solution.
2.a. Donner un couple solution (x_0 ; y_0) de cette équation.
b. Déterminer l'ensemble des couples solution de cette équation.
On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous.
Afin de coder une lettre de l'alphabet, correspondant à un entier x compris entre 0 et 25, on définit une fonction de codage f par f(x) = y, où y est le reste de la division euclidienne de 51x + 2 par 26.
La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier x est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier y.
3. Coder la lettre N
4. En utilisant les questions 1. et 2., déterminer l'entier a tel que 0 <= a <= 25 et 51a≡1[26]
5. Démontrer que si la lettre correspondant à un entier x est codée par une lettre correspondant à un entier y, alors x est le reste de la division euclidienne de ay + 2 par 26.
6. Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre N
7. On applique 100 fois de suite la fonction de codage f à un nombre x correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on ?
Mes réponses :
1. 51 et 26 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Bezout, l'équation
51x - 26y = 1 admet au moins une solution entière.
2.a. 51 = 26 * 1 + 25
26 = 25 * 1 + 1
1 = 26 - 25*1
= 26 - (51 - 26*1)*1
= -51*1 + 26*2
Donc (x_0 ; y_0) = (-1 ; 2)
b. On note (x ; y) un couple solution de l'équation.
D'après a. (x_0 ; y_0) = (-1 ; 2) est une solution particulière.
On a donc 51x_0 - 26y_0 = 51x - 26y
d'où 26y - 26y_0 = 51x - 51x_0
d'où 26(y - y_0) = 51(x - x_0)
d'où 26 / 51(x - x_0)
Or 26 et 51 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 26 / x-x_0
donc il existe k ∈ ℤ tel que x - x_0 = 26k
donc il existe k ∈ ℤ tel que x = x_0 + 26k = -1 + 26k
On obtient alors -26(y - y_0) = 51*(-26)k
d'où y - y_0 = -51k
d'où y = y_0 - 51k = 2 - 51k
Ainsi (-1 + 26k ; 2 - 51k) est un couple solution de l'équation.
Réciproquement : si x = 51 et y = -26
alors 51(-1 + 26k) - (-26(2 - 51k))
= 51(-1 + 26k) + 26(2 - 51k)
= 51*(-1) + 51*26k + 26*2 - 26*51k
= -51 + 26*2
= 1
3. N correspond à 13
51*13+2 = 665 et 665 = 26*25 + 15 où 0<=15<26 donc f(13) = 15
15 correspond à P donc N devient P.
4. J'ai commencé ainsi :
51a≡1[26] donc il existe un entier q tel que 51a = 26q + 1 donc 26/51a - 1
Mais je ne sais pas comment utiliser les deux premières questions...
bonjour
en attendant le retour de carpediem on voit que si tu remplaces x par -1 et y par 2 dans l'équation de départ l'égalité n'est pas vérifiée.
il faut choisir une valeur de x, n'importe laquelle...et en déduire y
Vale7401 @ 16-05-2021 à 16:17
il faut choisir une valeur de x, n'importe laquelle...et en déduire y
sûrement pas ...il faut choisir une valeur de x, n'importe laquelle...et en déduire y
carpediem : pourquoi pas n'importe quelle valeur de x?
dans l'équation d'une droite on peut calculer l'ordonnée de n'importe quelle abscisse,non?
il y a bien une infinité de couples (x0;y0) solutions. Non?
il y en a une infinité certes ... mais pas n'importe laquelle ...
comme Aldebarran le montre : il a trouvé une infinité de solutions ... fausses parce que sa solution particulière est fausse ...
Bonjour,
Juste en passant :
L'énoncé est incomplet.
Tel qu'il est écrit, Vale7401 a raison.
Le titre contient le mot "arithmétique". On peut donc subodorer que l'on cherche des valeurs dans 
ou 
.
Mais c'est cruellement absent de l'énoncé présenté dans le premier message 
Ensuite, pour le 2.b. (x;y) = (-1 + 26k ; -2 + 51k) est un couple solution de l'équation
3. N correspond à 13
51*13+2 = 665 et 665 = 26*25+15 0 <=15<26
15 correspond à P donc N est codé par P
4. 51*(-1)-26*(-2) = 1 ⇔51*(-1) = 1 + 26*(-2)
donc 51*(-1) ≡ 1 [26]
donc 51*25 ≡ 1[26] car 25 ≡ -1[26] ainsi a = 25
5. 51x + 2 = 26q + y où q est un entier (d'après l'énoncé)
⇔51x + 2 - 26q = y
⇔ y ≡ 51x + 2 [26]
⇔ 25y ≡ 25*51x + 2*25[26]
⇔ 25y ≡ x - 2 [26] d'après 4.
⇔ 25y + 2 ≡ x[26]
Or d'après 4. 25 = a ainsi x est le reste de la division euclidienne de ay + 2 par 26
6. N correspond à 13
25*13+2 = 327 et 327 = 26*12 + 15 avec 0 <=15<26
15 correspond à P donc N code la lettre P
Je n'ai pas encore commencé la 7. Je voudrais savoir si ce que j'ai fait jusqu'ici est juste
Ceci ne répond pas à 2)b) :
Citation :
(-1 + 26k ; -2 + 51k) est un couple solution de l'équation
(-1 + 26k ; -2 + 51k) est un couple solution de l'équation
Il faut répondre par "l'ensemble des solutions de l'équation est .... "
Et préciser où est k.
3. OK.
Je suis revenue.
6) est OK
Pour 5) :
Cette équivalence est fausse par exemple :
A 
B [26] 
2A 2B [26]
Ce n'est pas ce que tu as écrit ; mais il faut prendre des précautions quand on multiplie des congruences.
Des implications, oui c'est dans le cours. Des équivalences, non.
Tu n'as pas besoin de ces équivalences. Utilise des implications.
Justifie bien à la fin que x vérifie les conditions demandées à un reste.
Ne te laisse pas impressionner par la question 7) ; elle est facile.
Pour la 5, il faut que j'enlève les équivalences, et que je rajoute que 0<=x<26 ?
Pour la 7, je pense comprendre ce que l'on attend mais je ne sais pas comment le formuler.
D'après les questions précédentes, si l'on code une lettre x, on obtient y, et si l'on code y, on obtient x ; donc si l'on applique à x la fonction f un nombre pair de fois, on obtient x.
Alors avec 100 fois la fonction f, on obtient x.
Mais je ne sais pas comment le justifier.
Oui pour la 5.
Citation :
si l'on code une lettre x, on obtient y, et si l'on code y, on obtient x
Traduction : Si y = f(x) alors x = f(y).
si l'on code une lettre x, on obtient y, et si l'on code y, on obtient x
Donc fof(x) = ?
fof(x) = x c'est la même chose que "appliquer à x un nombre de fois pair la fonction f", y a-t-il besoin de justifier plus que ça ?
C'est appliquer 2 fois.
g = fof.
Tu as démontré que pour tout n de on a g(n) = n.
Autrement dit g = id
Appliquer 100 fois f revient à appliquer combien de fois g ?
Je ne reviendrai pas avant demain.
Bonne nuit
Je commencerais par dire 50 fois.
g = fof ; donc appliquer deux fois f revient à appliquer une fois g.
J'avais commencé à chercher avec l'expression de la fonction f :
51≡−1 [26]
51x ≡−x [26]
51x + 2 ≡−x + 2 [26] car 2≡2 [26]
alors f(x)≡−x+ 2 [26]
f(f(x))≡−(−x+ 2) + 2 [26]
f(f(x))≡x[26]
Voulez-vous que je parvienne à cela avec g ou bien ce que j'ai fait est faux ?
Je reprends ta réponse du 19 à 12h36 :
Citation :
51≡−1 [26]
En mutltipliant par x, on obtient 51x ≡−x [26]
D'où 51x + 2 ≡−x + 2 [26] (il est inutile d'écrire " car 2≡2 [26] ")
alors f(x)≡−x+ 2 [26] à justifier un peu
f(f(x))≡−(−x+ 2) + 2 [26]
f(f(x))≡x[26]
Il reste à en déduire que f(f(x)) = x.
51≡−1 [26]
En mutltipliant par x, on obtient 51x ≡−x [26]
D'où 51x + 2 ≡−x + 2 [26] (il est inutile d'écrire " car 2≡2 [26] ")
alors f(x)≡−x+ 2 [26] à justifier un peu
f(f(x))≡−(−x+ 2) + 2 [26]
f(f(x))≡x[26]
C'est dommage de ne pas utiliser la question 5).
Utiliser g ou pas n'a aucune importance.
Est-ce que on doit avoir : f(y) = 51y + 2
Il existe un entier relatif q tel que 51y + 2 = 26q + x donc 51y + 2 ≡ x[26]
d'où f(y) = x
D'après 5), si y = f(x) alors x est le reste de la division euclidienne de ay + 2 par 26.
Traduction avec a = 25 :
Si y = f(x) alors
x est le reste de la division euclidienne de 25y + 2 par 26.
Que peut-on alors dire du reste de la division euclidienne de 56y + 2 par 26 ?
Alors pour le reste de 51y + 2, j'ai :
25y + 2 ≡ x[26] donc 25y + 26y + 2 ≡ x[26] donc 51y + 2 ≡ x[26]
Mais pour 56y + 2, je vois pas
Et du coup peut-on terminer avec : f(f(x)) = f(y) = x correspond à appliquer un nombre pair de fois la fonction f à x, donc on obtient x si l'on applique 100 fois la fonction f à x.
Je dirais qu'appliquer 100 fois la fonction f revient à faire 50 fois fof .
Je ne vais plus être disponible ce week-end.