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exercice d'oral

Posté par
pierrette 31-05-08 à 12:04

Bonjour à tous

J'ai un problème sur un exercice d'oral pour les révisions des concours
Je ne vois pas comment m'y prendre, pourriez-vous me donner un indice svp?

On considère la série de fonctions (un)n1 de [1;+[ dans définie par :
un(x) = (1/nx) - (1/tx)dt l'intégrale étant définie de n à n+1.

Montrer que n3, x1, 0un(x)(1/nx)-(1/(n+1)x)1/(n(n+1))

En fait, j'ai déjà montré que un(x)0 mais je ne vois pas trop comment m'y prendre pour les autres inégalités.
Pourriez-vous m'aider svp?

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : exercice d'oral 31-05-08 à 14:27

Bonjour

La fonction 1/tx étant positive et décroissante sur [n,n+1] on a

\Large\frac{1}{n+1}^x\leq \bigint_n^{n+1}\frac{dt}{t^x}

Posté par
gui_toure : exercice d'oral 31-05-08 à 14:30

Merci Camélia !

Posté par
Camélia Correcteurre : exercice d'oral 31-05-08 à 14:32

Posté par
Camélia Correcteurre : exercice d'oral 31-05-08 à 14:34

Désolée je viens de voir que mon indication est mal tapée.

\Large \frac{1}{(n+1)^x}\leq \bigint_{n}^{n+1}\frac{dt}{t^x}\leq \frac{1}{n^x}

Posté par
pierrettere : exercice d'oral 31-05-08 à 23:40

Merci beaucoup


J'aurais une autre petite question concernant un tout autre exo:

Dans un énoncé, il est écrit: soient P et Q deux polynômes homogènes de degré n.
Sachant que P et Q dépendent de x et y.

Que signifie "homogène" ??

Merci d'avance

Posté par
gui_toure : exercice d'oral 31-05-08 à 23:41

Posté par
pierrettere : exercice d'oral 01-06-08 à 00:00

ha ok merci

Posté par
pierrettere : exercice d'oral 01-06-08 à 00:47

Une autre petite question sur l'exercice suivant:

Soit (a,b,c)*2 avec b2 - 4ac < 0
Pour n*, on note:

In(x) = intégrale (1/(ax2+bx+c)n)dx

Etablir une relation de récurrence entre In(x) et In+1(x).

Il est indiqué qu'on peut utiliser une intégration par parties, mais je ne vois vraiment pas laquelle faire, pourriez-vous m'aider svp?

Posté par
fusionfroidere : exercice d'oral 01-06-08 à 01:11

Quelqu'un voit ?

Posté par
fusionfroidere : exercice d'oral 01-06-08 à 01:13

ah c'est bon je te le tape

Posté par
fusionfroidere : exercice d'oral 01-06-08 à 01:15

fausse alerte

Si quelqu'un a trouvé, je suis preneur

Posté par
fusionfroidere : exercice d'oral 01-06-08 à 01:38

Je partirai de I_{n+1}, et je considèrerais (ax²+bx+c)^n(ax²+bx+c)

Posté par
pierrettere : exercice d'oral 01-06-08 à 02:03

c'est ce que j'ai essayé, mais je suis coincé sur l'intégration par parties.
En fait, je pensais utilisé le fait que le discriminant est nagatif, donc il y a deux racines complexes, et après faire une décomposition en éléments simples, mais c'est pareil, je reste coincé ...

Posté par
gui_toure : exercice d'oral 01-06-08 à 10:49

Tu as déjà regardé 3$\rm I_1, I_2 ?

3$I_1=\Bigint_{u_1}^{u_2}{4$\fr{dx}{ax^2+bx+c

Travaillons sur la forme canonique de 3$ax^2+bx+c :

3$ax^2+bx+c\,=\,a\[\(x+\fr{b}{2a}\)^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}\]

donc 3$I_1=\fr1a\Bigint_{u_1}^{u_2}{4$\fr{dx}{\(x+\fr{b}{2a}\)^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}

En divisant la fraction par 4$\fr{b^2-4ac}{4a^2} il vient

3$I_1=\fr1a\Bigint_{u_1}^{u_2}{4$\fr{\fr{4a^2}{b^2-4ac}dx}{\(\fr{x+\fr{b}{2a}}{\fr{\sqrt{4ac-b^2}}{2|a|}\)^2-1

Sauf erreur et à compléter

Posté par
pierrettere : exercice d'oral 01-06-08 à 13:19

Ok, merci, j'avais pas pensé à regarder les 2 premiers avant. Merci


Une autre ptite question sur un autre exercice:

Montrer que les intégrales impropres de Fresnel I= intégrale cos(x²)dx entre - et +
et J= intégrale sin(x²)dx entre - et +

sont convergentes ....

Je ne vois pas comment m'y prendre avec les "petits o" et les "grands O" ( relations de cmparaison) pour montrer qu'elles sont convergentes ...

Posté par
fusionfroidere : exercice d'oral 01-06-08 à 13:59

Salut

I(x)=\Bigint_{-\infty}^{\infty}cos(x^2)dx=2\Bigint_0^{\infty}cos(x^2)dx car ta fonction est paire.

Posté par
fusionfroidere : exercice d'oral 01-06-08 à 14:04

POur étudier la convergence, il suffit d'étudier la fonction g(x)=\Bigint_0^{x} exp{it^2}dt et de montrer qu'elle e une limite en l'infini.

Posté par
fusionfroidere : exercice d'oral 01-06-08 à 14:04

qu'elle a ...

Posté par
pierrettere : exercice d'oral 01-06-08 à 14:07

a d'accord, merci

Posté par
pierrettere : exercice d'oral 01-06-08 à 14:16

pour l'intégrabilité en 0, je dis que quand t tend vers 0, eit² tend vers 1 qui est intégrable sur [0;1]

Mais pour l'intégrabilité en +, eit² est un "petit o" de quoi?

Posté par
fusionfroidere : exercice d'oral 01-06-08 à 14:59

Justement, ça ne va pas marcher. Il faut faire une IPP

En effet, tu as : 4$\rm g(x)=\Bigint_0^1 e^{it^2}dt+\Bigint_1^{x}exp{it^2}dt

Posons 4$\rm u=t^2 \\
Alors 4$\rm g(x)=\Bigint_0^1 e^{it^2}dt+\frac{1}{2}\Bigint_1^{x^2}\frac{exp{iu}}{\sqrt{u}}

Or, 4$\rm \Bigint_1^{x^2}\frac{exp{iu}}{\sqrt{u}}=\[\frac{exp{iu}}{i\sqrt{u}}\]_1^{x^2}+\frac{1}{2i}\Bigint_1^{x^2}\frac{exp{iu}}{u^{\frac{3}{2}}}du \\

Or, 4$\rm |\frac{exp{iu}}{u^{\frac{3}{2}}}| \le \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}

Posté par
pierrettere : exercice d'oral 01-06-08 à 17:48

ok, merci beaucoup.j'y suis arrivée.

J'aurais une autre petite question:

c'est un exercice sur la fonction d'Euler.

On sait que pour tout réel x strictement positif, (x)>0.
On peut donc définir sur ]0;+[ la fonction d'Euler par:
(x) = '(x) / (x)

Bien sûr, on a: (x) = intégrale (tx-1e-t)dt entre 0 et +

Au préalable, j'ai montré que: x]0;+[: (x+1) - (x) = 1/x

Soit ]0;1[. Soit n un entier naturel non nul, déterminer en fonction de n et , quatre réels u1,v1,u2,v2, tels que:

(1/(k-)) = (u1)-(v1) la somme allant de k=1 jusqu'à k=n

et (1/(k+)) = (u2)-(v2)  la somme allant de k=1 jusqu'à k=n


Je ne vois pas comment trouver ces réels ... pouvez-vous m'expliquer svp?
Merci d'avance


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