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Exercice de complexe

Posté par
FanDeMath
15-11-17 à 16:50

Bonjour à tous , j'ai un souci concernant un exercice , je n'obtiens pas la même réponse que dans le corrigé , pouvez vous y jeter un coup d'oeil ? Merci beaucoup !

Soit l'équation : z^{4} - \sqrt{2} .z^{3} - 4\sqrt{2}z -16 = 0
en l'inconnue complexe z.

a)Démontrez que l'équation admet deux solutions imaginaires pures.
b) Résolvez complètement l'équation.
c) Démontrez que les points du plan de Gauss dont les affixes sont les racines de l'équation sont sur un même cercle dont on terminera le rayon et le centre.

Je réussis le a sans problème et on obtient la même réponse que dans le corrigé : z= +2i et -2i qui sont bien des imaginaires pures.
Donc j'écris l'équation comme : (z+2i)(z-2i)(z²-\sqrt{2} z - 4)=0

(z²+4)(...) =0 , je cherche les racines du 2ème membre et j'obtient 2 racine de 2 et - racine de 2 , qui ne sont pas du tout les réponses attendus , de ce fait le c est faux vu que ces réponses n'ont pas le même module que 2i , qu'en pensez vous ? merci

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice de complexe 15-11-17 à 16:54

l'équation que tu donnes au départ a bien les solutions que tu annonces
erreur dans l'équation de départ ?

Posté par
alb12
re : Exercice de complexe 15-11-17 à 17:15

salut,
"qui ne sont pas du tout les réponses attendus"
tu connais les reponses ?

Posté par
FanDeMath
re : Exercice de complexe 15-11-17 à 17:20

Les réponses attendus mis à part +/- 2i sont :

((\sqrt{2}+ i\sqrt{14})/2) et  ((\sqrt{2} -i\sqrt{14})/2)

Qu'en pensez vous ? Mais avec mes solutions l'ex C est impossible à démontrer ( puisqu'il est faux ) , alors qu'avec ces racines là , le c est juste . Merci !

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice de complexe 15-11-17 à 17:26

certes
mais ton équation du départ n'admet pas du tout ces solutions là....

pour que ce soit ça
il aurait fallu qu'on ait (z²+4)(z²-2 z +4)=0

Posté par
FanDeMath
re : Exercice de complexe 15-11-17 à 17:29

Je pensais avoir peut-être fait une faute avant , dans ce cas merci beaucoup !

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice de complexe 15-11-17 à 17:32

oui, je crois vraiment qu'il y a un bugg dans cet exo

Posté par
alb12
re : Exercice de complexe 15-11-17 à 18:13

l'equation de depart est presque surement correcte
sinon ce serait z^4+(-(sqrt(2)))*z^3+8*z^2+(-4*sqrt(2))*z+16
donc deux fautes c'est peu probable.
Les points sont cocycliques dans les 2 cas, ce n'est donc pas un argument en faveur de l'une ou l'autre version.

Posté par
alainpaul
re : Exercice de complexe 15-11-17 à 18:32

Bonsoir,

En examinant le cas des 2 racines purement imaginaires ,
z^4-16 \in R =0  et

-\sqrt{2}z^3-4\sqrt{2}z=0  

il me semble que l'erreur de signe se situe entre ces 2 derniers termes,

Alain



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