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exercice de continuité : problèmùe
Bonjour je suis désolé de vous demander de l'aide mais je n'arrive pas du tout cet exo pourriez vous m'aider svp 
J'ai une fonction f [01] --> R continue telle que f(0)=0.
Soit g(x) ]0,1] --> R telle que g(x) = f(x) /x
On pose lim en 0+ de g = + infini ..
1) montrer qu'il existe a appartenant à ]0,1[ tel que pour tout x de ]0,a],, g(x) >=g(1) déjà la je ne trouve pas.
En déduire que g est minorée et que inf(g) sur ]0;1] = inf g sur [a,1] .... no coment.
En déduire que la borne inférieure est atteinte.
2) En uspposant que g est minorée, retrouver à l'aide de suites que la borne inférieure m de g est atteinte . ça j'ai trouvé avec la caractérisation de la borne inférieure pas de problème.
3) Soit c de ]0,1] tel que g(c) = m. Justifier que g([0,c]) = [m, +infini[ là je suis de nouveau bloqué.
4) On suppose que m < g(1) Justifier que tout élément de ]m,g(1)] a au moins deux antécédents par g ...
voilà c'est la catastrop)hie je n'y comprends rien ... Votre aide serait la bienvenue
Merci d'avance
Pardon j'ai mal écrit dans l'énoncé , avant les questions il y a écrit on suppose lim en 0+ de g = +infini...
Pardon de mon inattention
pour le début de la question 1), il suffit d'utiliser le fait que g(x) tend vers +
quand x tend vers 0 par valeurs positives (appliquer la définition de la limite)
on pour tout A il exite alfa tel que
x < alfa ==> g(x) > A
A oui ok comme vous dites ça c'est évident
mais comment faire la suite
certes c'est pas le fait qu'elle soit minorée qui me pose problème( ça c'est du à la continuité) mais les histoires de bornes inférieures...
On doit distinguer 2 cas :
1er cas : pour tout x de [a,1], g(x)
g(1)
Alors pour tout x de ]0,1], g(x)g(1)
Ainsi, et on voit clairement qu'elle atteinte en x=1.
2e cas : il existe x dans [a,1], g(x)
Comme pour tout y de ]0,a], g(x)1, alors
Kaiser
au faut vriament dire que je suis mauvais .... ça semble tellement simple une fois que c'est expliqué (néanmoins sans l'explication je pense que je n'aurais pas trouvé) merci beaucoup!
et pour les deux dernieres questions pourriez vous me guider (je ne peux me vanter que d'avoir trouvé la question deux ...) Merci beaucoup en tout cas!
g est continue sur l'intervalle ]0,c] (attention, tu avais fermé l'intervalle en dans ton premier message !!)
on en déduit que g(]0,c]) est un intervalle de la forme [m,a) où a est soit un réel supérieur à a, soit +.
En effet, m est la borne inférieure et est atteint en x=c.
(le signe ")" pour dire qu'on ne sait pas a priori si c'est "]" ou "[" )
Je te laisse continuer en utilisant le fait que g(x) tend vers + quand x tend vers 0 par valeurs positives.
Kaiser
Pour la question 4), remarque que g(]c,1]) est un intervalle dont la borne inférieure est m (mais qui n'est pas forcément dedans) et qui contient g(1).
bonjour merci de votre aide en plus j'apprécie le fait que vous essayiez de me faire réfléchir!
^pour la question 3) est ce que supposer que a est réel suffit
en sortant ensuite que x<alfa ==> g(x) >a donc a = + infini?
et pour la question 4 par contre je comprends pas trop ... 
Mais je t'en prie ! 
Pour la question 3) c'est bon !
Pour la 4), on va y aller par étape.
D'abord g est continue sur l'intervalle ]c,1], donc g(]c,1]) est un intervalle qui est de la forme (a,b).
D'accord ?
On va montrer ensuite que a=m.
on déjà l'inégalité am.
Considérons la suite définie par
. C'est un suite d'éléments de ]c,1] qui converge vers c donc par continuité de g en c, la suite
converge vers m.
Or pour tout n , on a , donc par passage à la limite, on a
, d'où a=m.
Kaiser
De plus, g(1) est dans cet intervalle.
Donc par le théorème des valeurs intermédiaires, tout élément compris entre m (au sens strict) et g(1) (au sens large) (c'est-à-dire l'intervalle) ]m,g(1)] est inclus dans l'intervalle g(]c,1]).
Ainsi, on vient de démontrer que tout élément de ]m,g(1)] admet au moins un antécédent dans ]c,1].
Par ailleurs, on sait que g(]0,c])=[m,+[.
Finalement, que peut-on en déduire ?
or g continue sur ]0 c] et ]m, g(1)] inclus ds ]m, +inf ]
donc toute vvaleur est atteinte dans )0,c) ...
donc deux solutions puisque les deux ensembles sont disjoints ! merci beaucoup vous m'avez beaucoup aidé ... je vais essayer de le refaire sans regarder votre aide !
MERCI BEAUCOUP
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