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Niveau seconde
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Exercice de DM coordonées de vecteurs

Posté par
Johnrourou21
28-02-20 à 18:18

Bonsoir, j'ai un exercice qui m'est particulièrement dur à résoudre. Pouvez-vous m'aider?

L'énoncé :

Dans un repère orthonormé (O,I,J), on donne les points A(-2;-3), B(-1;1), C(3;0) et D(2;-4).

1) Faire une figure et déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
2) Les points N(1;-1) et P(8;3) appartiennent-ils à la médiatrice du segment [BD] ?
3)On considère le point M(x;y). Déterminer une condition liant x et y pour qu'il appartienne à la médiatrice du segment [BD].
Que caractérise cette relation ?
4) Déterminer de manière analogue une équation de la médiatrice du segment [AC].

Pour la question 1, je l'ai fait sur feuille, j'ai obtenu un carré. En ce qui concerne la question 2, j'ai placé les points mais je ne sais pas ce que je dois faire ensuite. Quant aux autres question, c'est le flou totale.

Merci de votre aide.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 18:32

Bonjour,

la question 1 ne consiste surement pas à observer la figure pour dire "j'ai bien l'impression que c'est un carré" mais à le prouver :

calculs de distances avec la formule sur les coordonnées etc

pareil pour la 2 car la médiatrice d'un segment est définie pat une certaine relation sur des distances (cours de début de collège, mais appliquer maintenant ça avec les coordonnées)

la 3 et la 4 : pareil mais en littéral avec x et y

Posté par
Johnrourou21
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 18:57

Merci de votre réponse.

J'ai pour la question 1, utiliser la formule :

(xb-xa)² + (yb-ya)² le tout dans une même racine carré

Norme AB = racine carré de (-1-(-2))²+(1-(-3))² = racine carré de 17
Norme BC = racine carré de ----------------------= racine carré de 17
Norme CD =------------------------------------------= racine carré de 17
Norme DA =------------------------------------------= racine  carré de 17

AB=BC=CD=DA (pour les normes), donc le quadrilatère ABCD est un carré.
Est-ce juste ?

Sinon la question je ne sais pas comment justifier, procéder....

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 19:20

AB=BC=CD=DA donc le quadrilatère est un losange
il faut quelque chose de plus pour que ce soit un carré
soit un angle droit, soit les diagonales égales, comme tu veux

Posté par
Johnrourou21
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 19:39

Oui, oui bien-sûr, quelle idiotie de ma part. Je tacherai de m'en rappeler ! J'ai essayé de résoudre la question 2. J'ai construis un plan, j'y ai placé les points A;B;C;D, j'ai construis la médiatrice de BN. J'ai placé les points N et P. Je constate qu'ils sont quasiment sur la médiatrice de BN sans doute un manque de précision. De là, je ne sais si je dois affirmer ou non ce constat.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 19:52

N ne risque pas d'être sur la médiatrice de BN !!
(se relire, fautes de frappes )

cours de 6ème : Base de la géométrie en classe de 6e
(définition et surtout propriété de la médiatrice)

ce n'est pas parce qu'on est en seconde avec des coordonnées etc que ce n'est plus d'actualité !

donc : N est sur la médiatrice de [BD] (!!) si et seulement si NB = ND
à calculer pour le vérifier ou l'infirmer.

nota : pour cette question et la suivante, et d'ailleurs aussi pour la 1 :

deux segment sont égaux NB = ND si et seulement si NB² = ND²
ça évitera de trainer des racines carrées incongrues...

Posté par
Johnrourou21
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 20:37

Désole,  mon cerveau s'embrouille dans les lettres lol
J'ai donc fait :

NB = racine de (-1-1)²+(1-(-1))² = 2 racine de 2, j'ai également testé avec votre astuce :
NB (-1-1; 1-(-1)) = (-2;2) le tout au carré = 1
ND = racine de (2-1)²+(-4-(-1))² = racine de 10, votre méthode :
ND (2-1;-4-(-1)) = (1;-3) le tout au carré = 1/9

Je vois que, malgré tous mes essais, je ne vois pas d'égalités. Quant à P:

PB = racine de (-1-8)²+(1-3)² = racine de 85, votre méthode :
PB(-1-8;1-3)=(-9;-2) le tout au carré = 81/4
PD= racine de (2-8)²+(-4-3)² = racine de 85, votre méthode:
PD=(2-8;-4-3)=(-6;-7) le tout au carré = 36/49

Voila mes résultats, je ne comprend pas pourquoi les calculs me donnent des résultats incohérents. Je pense avoir bien posé mes calculs.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 21:22


NB = racine de [(-1-1)²+(1-(-1))² ] = 2 racine de 2

NB² = (-1-1)²+(1-(-1))² = 8

pour avoir NB² au lieu de NB il suffit juste de ne pas extraire la racine carrée !!!
tout le reste étant inchangé

de même ND² = 10

comme, ND² = 10 est différent de NB² = 8, N n'est pas équidistant de B et D et donc N n'appartient pas à la médiatrice

PB = racine de [(-1-8)²+(1-3)²] = racine de 85,
(et PB² = 85 !!)
PD= racine de [(2-8)²+(-4-3)²] = racine de 85,
(et PD² = 85 !!)

donc P appartient à la médiatrice de BD

question terminée
et la question suivante c'est les mêmes calculs mais avec (x; y) en littéral au lieu des coordonnées numériques de N ou P

Posté par
Johnrourou21
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 21:44

Merci beaucoup, j'ai compris l'histoire des ² sans les racines
Pour la question 3, est-ce correct de dire que M(x;y) = 1/2 [BD] ?
Sinon, puis-je dire que M doit être équidistant de B et de D si l'on veut que M appartienne à la médiatrice BD ? A vraie dire, je ne comprends pas pourquoi il me demande de déterminer une condition et de caractériser cette relation. Pour moi, on peut juste définir une caractéristique d'un point sur la médiatrice.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 21:54

M(x;y) = 1/2 [BD] ? non, ça ne veut rien dire

Sinon, puis-je dire que M doit être équidistant de B et de D si l'on veut que M appartienne à la médiatrice de BD oui

mais ce qu'on te demande c'est maintenant de traduire cela en termes de x et y écrits x et y :

Citation :
et la question suivante c'est les mêmes calculs mais avec (x; y) en littéral au lieu des coordonnées numériques de N ou P

donc il faut les faire ces calculs , et simplifier l'expression obtenue

Posté par
Johnrourou21
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 22:39

Je pense avoir trouver, mais je ne suis pas sûr :

Le point  doit se trouver à distance égale entre B et D.  La distance MB et MD doit être équidistante.
Je pense par conséquent que leur carré aussi doit être égaux. J'ai donc avec la formule des distances fait :

(x-xb)²+(y-yb)² = (x-xd)²+(y-yD)²

J'espère que c'est le bon résultat parce que sinon, je n'ai pas d'autres solutions. J'ai fais toutes les combinaisons possibles.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 22:45

oui, mais c'est loin d'être fini !

xb, xd, yb et yd sont des valeurs numériques explicites dans l'énoncé

et comme je le disais il faut simplifier tout ça !!
par exemple développer et réduire

Posté par
Johnrourou21
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 23:21

Il faut donc que je retire b et d pour permettre de développer et de réduire l'équation ?  

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 28-02-20 à 23:51

???

Citation :
et la question suivante c'est les mêmes calculs mais avec (x; y) en littéral au lieu des coordonnées numériques de N


B(-1;1), c'est à dire xb = -1 et yb = 1

NB² = (-1-1)²+(1-(-1))²

et avec M (x; y) :
MB² = (-1-x)² +(1-y)²
xb c'est toujours -1 et yb c'est toujours 1

ou si tu préfères écrire BM au lieu de MB c'est pareil
BM² = (x-xb)² + (y-yb)², mais encore xb = -1 et yb = 1 :

BM² = (x-(-1))² + (y-1

pareil pour MD
puis développer et réduire
tu ne sais pas ce que veut dire développer (x+1)² + (y-1)² etc ???

que diable comprenais tu de travers dans ce que je disais ???

Posté par
Johnrourou21
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 29-02-20 à 00:31

Si si, je sais parfaitement développer,  je ne comprenais juste pas la question.
Par conséquent, pour BM :

BM² = (x-(-1))² + (y-1)²
          = (x+1)² + (y-1)²
         = x²+2x*1+1²)+(y²-2y*1+1²)
         =x²+2x+1+y²-2y+1
         =x²+2x+y²-2y+2 ?

De même pour DM

DM² = (x-2)²+(y+4)²
            = x²-2x*2+2²+y²+2y*4+4²
             =x²-4x+4+y²+8y+16
             =x²-4x+y²+8y+20 ?

C'est cela ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 29-02-20 à 01:00

oui mais ce qu'on cherche à faire c'est écrire BM² = DM²
donc continues...

Posté par
Johnrourou21
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 29-02-20 à 13:49

x²+y²+2x-2y+2=x²+y²-4x+8y+20
correspond à 2x-2y+2=-4x+8y+20
correspond à -2y+2=-6x+8y+20
correspond à 2=-6x+10y+20
correspond à 0=-6x+10y+20
correspond à 6x-10y-18=0

Pour y : -10y=-6x+18
correspond à -10y/-10=-6x/-10+18/-10
y=3/5x-9/5

Pour x : 6x-10y-18=0
correspond à 6x=10y+18
correspond à 6x/6=10y/6+18/6
x=5/3y+3

je pense que j'ai bon mais pour la caractérisation je ne suis pas sûr

Je pense que c'est l'équation de la médiatrice de [BD] ?  

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice de DM coordonées de vecteurs 02-03-20 à 11:21

correspond à 6x-10y-18=0 oui
on peut tout de même simplifier par 2 !!
3x - 5y - 9 = 0
c'est ça le critère, M (x;y)a ppartient à la médiatrice si et seulement si x et y vérifient
3x - 5y - 9 = 0
ne serait-ce pas l'équation d'une droite ça ?

et c'est précisément ce qu'on demande "d'interpréter" :
on obtient ainsi l'équation d'une droite, c'est à dire l'équation de la médiatrice !

et la question est terminée

(tes bidouilles ultérieures qui tournent en rond ne servent à rien du tout)



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