Niveau Licence Maths 1e ann

Exercice de logique N°3 , un coup de pouce?

Posté par
censucre 04-01-14 à 01:17

Et pour terminer le 3e exercice :

Citation :
L'Open d'Australie à Melbourne a recueilli, tous niveaux confondus, 81 inscriptions.
Dès lors, combien de matchs (en simple et élimination directe) de tennis ont dû être organisés cette année?

Je trouve 80 matchs. Est-ce exact?

40 matchs ( 80/2) --> il reste encore 41 personnes ( 40 personnes ont gagnées + 1 en attente)
+ 20 matchs ( 40/2) --> il reste 21 personnes
+ 10 matchs ( 20/2) --> il reste 11 personnes
+ 5 matchs ( 10/2) --> il reste 6 personnes
+ 3 matchs --> on a les 3 finalistes mais il faut encore
+ 2 matchs pour connaitre leur place sur le podium.

Y-a-t'il une formule plus générale pour trouver la solution plus rapidement?

Posté par re : Exercice de logique N°3 , un coup de pouce? 04-01-14 à 01:53

bonsoir
bien sur qu il y a beaucoup plus simple
chaque fois qu il y a un match, il y a un eliminé
a la fin du tournoi comprenant n participants, il ne restera qu un seul vaiqueur donc n-1 elimines, donc n-1 matchs

Posté par re : Exercice de logique N°3 , un coup de pouce? 04-01-14 à 02:05

Ah oui effectivement c'est beaucoup plus simple et très logique aussi!
Merci beaucoup !

Posté par re : Exercice de logique N°3 , un coup de pouce? 04-01-14 à 02:06

avec plaisir

Posté par re : Exercice de logique N°3 , un coup de pouce? 04-01-14 à 03:47

Bonjour.

Quel est le seuil minimum du nombre d'inscrits n pour l'open ait lieu

Pour une formule ça va être difficile car li faut l'établir et donc raisonner dans le cas général.

Un algorithme de calcul Oui qui utilsera l'écriture du nombre d'inscrits $n$ sous la forme $n=2^p q$ où $p$ est un entier naturel et $q$ un entier impair (éventuellement $=1$ et dans ce cas n est une puissance de $2$ , et si $n$ est impair, $p=0$ ), le couple $(p,q)$ est unique.

Si $q>1$ ( $n$ $n$ n'est pas une puissance de 2)

  Si $P>0$ ( $n$ n'est pas impair) , on aura dans une 1ère étape  2^{p-1) q matches et il restera $2^{p-1) q$ joueurs, on continue ainsi tant que le nouvel exposant de 2 reste positif, on aura ainsi $2^{p-1} q+ 2^{p-2}q+\cdots+ 2^2 q+2q=2q(1+2+\cdots+2^{p-2})=2q(2^{p-1}-1)$ matchs et il restera $q$ joueurs et on revient au cas comme si n est impair.

Si $n$ est impair, il y aura [n/2] matchs ([x] désigne la partie entière de x) et restera [n/2]+1 joueurs.
   - Si [n/2]+1 est pair, on revient au cas n pair
   - Si [n/2]+1 est impair on aura [[n/2]+1] matchs et il va rester [[n/2]+1]+1 joueurs
   - etc ...

Si $q=0$ ( $n$ est une puissance de 2)
   si $p>2$
    Il faudra $2^{p-1}+2^{p-2}+\cdots +2^3$ matchs, il restera $4$ matchs pour classer les $4$ joueurs ( $2$ matchs l'un pour designer les 2 joueurs qui vont se disputer la finale, l'autre pour designer les 2 joueurs qui vont se disputer la 3ème place et $2$ autres la finale et le match pour la 3ème place donc en tout $2^{p-1}+2^{p-2}+\cdots +2^3+2^2=2^2(2^{p-1}-1)$ matchs.
   Si $p=2$ donc $n=4$ et donc $4$ matchs.

   Si $p=1$ donc $n=2$ et donc $1$ seul match et il n'y aura pas de 3ème place.

   Si $p=0$ et $q=1$ pas de match (et je décide d'annuler l'Open d'Australie pour cette année-là).

Tu vois qu'il y a trop de conditions pour que l'on puisse établir facilement une formule surtout quand le nombre de joueurs est ou devient impair. Y a-t-il dans ce cas un lien entre l'écriture de $n$ en base $2$ et le nombres de matchs? Cette relation est-elle générale c.a.d. le nombre de matchs est-il lié à l'écriture de $n$ en base $2$ , que $n$ soit impair ou non?

Posté par re : Exercice de logique N°3 , un coup de pouce? 04-01-14 à 04:51

Bonjour.

Je suis peut-être allé trop loin avec ma manière de faire.
Pourquoi faire simple quand c'est compliqué

Posté par re : Exercice de logique N°3 , un coup de pouce? 04-01-14 à 05:32

Il ne faudra pas oublier le match pour la 3ème place.
Si le nombre de qualifiés en fin de tournoi est r=4, il restera encore 4 matchs à jouer donc n matchs
Si le nombre de qualifiés en fin de tournoi est r=3, Que prévoit la réglementation dans ce cas.
Faut-il faire un tirage au sort pour le joueur qui sera qualifié d'office pour la finale et dans ce cas 2 autres matchs donc au total $n-1$ matches.
Faudra-il faire adopter autre chose pour départager les 3 joueurs?

On voit donc que le nombre de matchs va dépendre du nombre $r$ .

Le problème est de déterminer $r$ en fonction de $n$ .

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