Bonjour, je ne comprends pas un des exercices de mon DM de maths, pouvez vous m'aider :
A l'intérieur d'un bac a sable circulaire de rayon 5m, on trace une allée en forme de couronne.
1- L'aire de l'allée hachurée est elle proportionnelle a sa largeur x ?
2- Quelle doit être la largeur de l'allée pour que les aires hachurée et non hachurée soient égales ?
Je ne comprends pas comment on peut faire ces calculs si il y a des x partout !
Merci de votre aide !
***Merci de choisir un titre plus explicite la prochaine fois***
bonjour,
exprime l'aire totale (bac à sable+ margelle)
exprime l'aire du bac à sable en fonction de x (r=5-x)
déduis-en l'aire du rebord = aire totale-aire du bac à sable
pour qu'il y ai proportionnalité il faut que l'expression de x trouvée soit celle d'une fonction linéaire (forme A(x)=ax)
Il s'agit, pour commencer, de calculer l'aire de deux cercles, l'un de rayon 5 et l'autre de rayon 5 - x .
Mais je ne comprends pas comment calculer car lorsque je fais l'aire du bac a sable :
A= Pi*(5-x)²
= Pi*(5²-2*5*x+x²)
= Pi*(25-10x+x²)
= 78.5-10x+x²
La on ne peut pas le continuer et du coup je ne sais pas du tout comment continuer...
1. L'aire hachurée est égale à la différence des aires des deux cercles.
As-tu formé cette différence ?
Je crois que j'ai trouvé !
Il faut faire cette différence égale à 0 pour trouver le x comme cela non ? :
78.5-(78.5 - 10x + x²)=0
78.5-78.5 + 10x - x²=0
10x - x² =0
x(10-x)=0
x=0 et 10-x=o
-x=-10
x=10
Du coup est ce que 10 est bien l'aire du rebord ?
Après j'ai regardé combien serait la largeur du rebord si l'aire est égale à 10 et ça semblait juste :
Pi*x²=10
x²=10/Pi
x²=3.18
x= V3.18
x=1.78
Pouvez vous me dire si tout cela est juste ou si je me suis lancé dans un calcul complètement faux svp ?
Merci d'avance
Je ne comprends pas bien ton calcul.
L'aire de la partie non hachurée (petit cercle) est A = pi(5 - x)².
L'aire du grand cercle est B = pi*5² .
L'aire de la partie hachurée est alors égale à B - A = . . . .
Je te conseille de conserver " pi " jusqu'à la fin du calcul.
Mais comment fait-on, une fois l'aire de l'allée hachurée trouvée, pour savoir si celle ci est proportionnelle à sa largeur x ?
si je fait B-A donc pi*25-pi(25-10x+x²),je n'arrive pas a terminer le calcul en conservant pi
Je suis un peu perdu ;(
A(sable)=25pi -pi(5-x)²
=pi(25-(5-x)²)
=pi(5-(5-x))(5+(5-x))
=pi(5-5+x)(5+5-x)
=pi(x)(10-x)
A(rebord)=A(totale)-A(sable)
A(rebord)=A(sable)--> x=.........
l'aire de la partie hachurée est donc pi(x)(10-x)
j'ai compris ce calcul mais je n'arrive toujours pas a répondre aux deux questions posées dans l'exercice...
pi(x)(10-x)=pi(5-x)²
pi(x)(10-x)-pi(5-x)²=0
x(10-x)-25-10x+x²=0
10x-x²-25-10x+x²=0
-25=0
x devrai être égal a 25 pour que les aires des deux parties soient égales ??? Je ne suis vraiment pas sur du tout
x(10-x)-25+10x-x²=0
10x-x²-25+10x-x²=0
20x-2x²-25=0
apres je ne sais pas si je peux continuer ...help
en fait je viens de chercher sur le net et je n'ai pas encore travaillé sur les equations du second degré
Alors je te propose de recommencer le calcul en utilisant directement les aires sous leur forme initiale :
aire du petit cercle = (5 - x)²
aire de la partie ajourée = 25 - (5 - x)² .
Ecris que ces deux aires sont égales. Tu pourras alors résoudre l'équation sans discriminant.
si j'ai bien compris ça ferai
20²-4*2*25
=400-200
=200
qui serai le discriminant
puis
20*rac200/2*20
Je croyais que tu ne connaissais pas le discriminant . . . .
Celui que tu as calculé est exact. Tu peux maintenant écrire les deux solutions de l'équation (ce que tu as écrit à la fin est faux).
Bon, alors laissons le discriminant.
Oui, c'est juste. Rassemble dans le premier membre tous les termes de l'équation, puis songe à appliquer une identité remarquable.
j'ai calculer le discriminant en regardant un tuto...c cool c'est juste
mais je vais essayer l'autre solution qui est surement le bonne ...faut il encore que j'y arrive
L'équation devient 2(5 - x)² - 25 = 0 .
Tu peux alors utiliser l'identité remarquable a² - b² = (a + b)(a - b) et ce sera presque fini.
comment tu élimines les pi???
2(5-x)²-25=0
2(5-x)²-5²=0
{2(5-x)+5)}{2(5-x)-5}=0
(10-2x+5)(10-2x-5)=0
(15-2x)(5-2x)=0
15-2x=0 5-2x=0
-2x=-15 -2x=-5
x=7.5 x=2.5
C'est presque bien. La seule chose à corriger, c'est que si a² est égal à 2(5 - x)² , a est égal à (2)(5 - x) .
Pour éliminer les , il suffit de diviser tous les termes par .
donc {(rac2)(5-x)+5)}{(rac2)(5-x)-5}
{2(5-x)+5}{2(5-x)+5}
et ensuite la suite comme j'ai fait???et le resultat est juste alors???
A la 2ème ligne, tu as mis 2 au lieu de 2 . A corriger.
Et tu as oublié les " = 0 ". C'est important, car c'est une équation du type " produit nul ".
Un produit de facteurs est nul si l'un quelconque des facteurs est nul.
L'équation se partage donc en deux équations :
1er facteur = 0
2ème facteur = 0.
Chacune de ces deux équations va fournir l'une des deux solutions de l'équation initiale.
2(5-x)²-25=0
2(5-x)²-5²=0
{(2)(5-x)+5)}{(2)(5-x)-5}=0
(52-x2+5)(52-x2-5)=0
(7.1-x2+5)(7.1-x2-5)=0
(12.1-x2)(2.1-x2=0
(12.1-x2)=0 (2.1-x2)=0
-x2=-12.1 -x2=-2.1
x=-12.1/-2 x=-2.1/-2
x=8.5 x=1.5
voilà mon résultat :?:?
L'une des solutions est à peu près bonne, l'autre non.
Je te conseille de donner d'abord les valeurs exactes des solutions en conservant 2 jusqu'au bout et de remplacer seulement à la fin 2 par sa valeur approchée 1,4142.
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