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Exercice de maths de TS: nombres complexes et suites.
Bonjour, mardi matin j'ai un gros controle de maths et je sais qu'il y aura un exercice de ce type dedans :
le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O,
,
)
Soit les nombres complexes a= (
3 + 1)/4 + i(3 - 1)/4 et z0= 6 + 6i
on notre Ao l'image de zo et pour tout entier naturel non nul, on désigne par An le point d'affixe zn definie par: zn=a^n
zo
1) a) exprimer z1 et a2 sous forme algébrique.
Ecrire z1 sous forme exponentielle et montrer que: a2= 1/2ei
/6
b) exprimer z3, puis z7 en fonction de z1 et a2, en deduire l'expression de z3 et z7 sous forme exponentielle
c) placer les points Ao, A1, A3 et A7 dans le plan complexe, le plus préisement possible et en précisant la méthode de construction pour les 3 premiers.
2) pour tout entier naturel n, on pose valeur absolue de zn= rn
a) montrer que, pour tout n 
, rn= 12(2 / 2)n+1
b) en deduire que la suite (rn) est une suite geometrique dont on precisera le premier terme et la raison
c) determiner la limite de la suite (rn) et interpréter geométriquement le resultat obtenu.
d) determiner le plus petit entier naturel p tel que OAp 
10-3 ( on indiquera brievement la méthode utilisée) donner alors la mesure principale de l'angle orienté ( , OAp)
Pourriez vous m'indiquer où je pourrai trouver une correction detaillée de cet exercice ou bien m'aider à le resoudre s'il vous plait. merci d'avance.
En fait, en le refaisant, je trouve autre chose :
a²=( (3 + 1) /4 +i( 3-1)/4)²
=4/8 + 2((3+1)/4 i(3 -1)/4) - 4/8
= 2((3+1)/4 i(3 -1)/4)
Est-ce juste ?
Ah oui merci, je crois avoir trouvé d'où provenait mon erreur, pourriez vous m'aider pour la suite egalement s'il vous plait ?
z1=a1xz0
=((3+1) /4 + i(3-1)/4)(6+6i)
=6((3+1) /4 + i(3-1)/4 +6i ((3+1) /4 + i(3-1)/4
=6((3+1) /4 + i(3-1)/4
ah ouii ! et après on a z1=3ei3/2=3ei/6 ?
par contre pour montrer que a²=1/2ei/6 comment fait-on ?
Faut il tout recalculer avec la formule de base ?
3ei
3/2 où as-tu vu cette écriture??
z1=6[(1/2)+(i√3/2)] =6(cos(π/3)+isinπ/3)=6eiπ/3
avec ce modèle, trouve a2
au 2) b ? pas au 1) b ?
pour le 1)b je ne vois pas trop..
et le 2)b c'est une suite de premier terme 62 et de raison 12 ?
et (a²)3=1/8eirappel
a²=(1/2)eiπ/6 et z1=3eiπ/6
z3=a2z1=
produit de module et somme des arguments
recalcule z3 et z7
formule su cours...
Z'=z*z' alors module de Z =produit des modules et argument =somme des arguments
ici (1/2)*3 =3/2
OK pour argument de z3
z3=(3/2)eiπ/3 OK
passons à Z7
Merci! et maintenant comme dois je proceder pour placer les points dans le plan complexe ? parce que avec les exponentielles..
quelle affixe as-tu pour a0
au fait un nouveau inscrit à le même exo ,il peut aussi participer au réponse sur ce topic
attention en regardant mes réponses...
des erreurs en reportant des valeurs lors du précédent post je corrige
Z1=6eiπ/3=pour la construction π/3=60° par rapport à l'axe des imaginaires et longueur 6
a2=(1/2)eiπ/6
Z3= 3eiπ/2=3i (π/3+π/6=3π/6=π/2)
Z3est un imaginaire pur sur l'axe des imaginaires
Z7=3/4e5π/6
5π/6=150° (angle obtus au dessus des réels) longueur 3/4
attention...
Ao l'image de zo et pour tout entier naturel non nul, on désigne par An le point d'affixe zn definie par: zn=a^nzo
z0=6+6i
okay merci, j'essayerai de faire la contruction demain, pouvez vous m'expliquer comment repondre à la question suivante et a la 2)b svp
module de zn= module de an x zo ?
Je dois y aller, si jamais vous avez le temps de m'expliquer pour les questions qui restent merci d'avance et merci pour ce que vous m'avez deja expliqué ! Bonne soirée (nuit)
Bonjours et merci de m'avoir inviter a rejoindre se topic , ce qui ma permis de vérifier mes reposes. J'ai donc les meme reponses que vous pour z1 a² z3 et z7. Encore merci et a bientot.
PS: si quelq'un pourais m'expliquer la fin de l'exercice merci d'avence.
Mais en faite je ne comprend toujours pas comment on peut après "determiner le plus petit entier naturel p tel que OAp 10-3 ( on indiquera brievement la méthode utilisée) donner alors la mesure principale de l'angle orienté ( , OAp)"?
(Désolé de m'incruster dans la conversation mais j'ai le même exercice, ^^"")
suite
rn=
as-tu vu les ln? sinon à la calculatrice...
(n+1)ln(√2/2}≤ln(10-3/12)
n+1≥
n+1≥27,1 soit n+1>28
n≥27
mais en faite pourquoi n'utilise t-on pas ici les racines e-nième?(je sais que ça ne marche pas mais les ln se sont pas utilisée seulement qu'avec les exponentielles?
mais on ne cherche pas les racines n-ième d'un complexe
tu cherches la valeur de n qui donne une distance inférieure à une valeur donnée ,n étant l'exposant d'une puissance d'un nombre déterminé.
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