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Exercice de maths Spé : divisibilité dans Z
Posté par fabvyr
Bonsoir,
J'ai un exercice de maths spé à faire mais j'avoue que je bloque totalement.
Voici l'énoncé :
On cherche les entiers naturels non nuls n tels que n2-1 soit multiple de 3.
1) À l'aide d'un tableur, émettre une conjecture
2) Justifier que tout entier s'écrit sous la forme 3k ou 3k+1 ou 3k+2
3) Démontrer la conjecture émise à la question 1
En faisant le tableur, je remarque que pour n=1 et n=2 par exemple n2-1 sont des multiples de 3 car le reste de la division euclidienne vaut 0. Mais que pour n=3 ça ne marche pas. En fait on observe une alternance entre 2 qui marchent et 1 qui marche pas.
Je n'arrive pas à comprendre comment formuler une conjecture pouvant m'aider à avancer dans le problème.
Pourriez-vous m'aider ?
Merci 
Bonsoir,
Tu cherches juste à donner la forme générale des n pour lesquels "ça ne marche pas".
La vois-tu ? Sinon, écris les quelques (3 ou 4) premiers n qui ne marchent pas, ça devrait t'aider.
(PS: utilise ^ pour signaler les puissances, on n'est pas sûr si c'est ou
)
Bonsoir, merci pour votre réponse.
Je crois avoir compris, ça ne marche pas lorsque n=3 ou n=6 n=9 etc... donc ça revient à dire que ça ne marche pas lorsque n est un multiple de 3 i.e. n=3k ça serait la conjecture ? Ou est-ce qu'on rajoute le fait que l'on « pense » que ça marche pour 3k+1 et 3k+2 ?
D'où l'intérêt de démontrer que tous les entiers s'écrivent sous la forme 3k, 3k+1 ou 3k+2 a la question 2. Pour démontrer cela d'ailleurs comment procéder ? Dans mon livre, ils utilisent souvent la parité des nombres pour procéder... est-ce la marche à suivre ?
Donc la question 3 correspondrait à une disjonction de cas où on vérifie que n^2-1 est divisible par 3 en remplaçant n par les 3 solutions possibles.
Merci de prendre du temps pour m'aider en tout cas 🙏
Pour la question 1), ta conjecture sera de la forme : 2^n-1 n'est pas multiple de 3 si et seulement si n est multiple de 3. Ce qui revient à écrire que ça marche pour les 3k+1, les 3k+2 mais pas pour les 3k.
Pour la 2), la parité ne va guère t'aider dans ce cas. Regarde plutôt du côté de la division euclidienne...
Et pour la 3), ton idée est la bonne !
Ok merci beaucoup, je vais essayer de rédiger le 2) en cherchant au niveau de la division euclidienne comme vous me l'avez conseillé.
Je reviens vers vous dès que ça avance merci
Bon courage !
(C'est assez accessoire pour le moment, mais attention au cas n=1 : j'ai fait la même erreur que toi, n'est pas multiple de 3. Le résultat est donc valable seulement pour
)
Alors en suivant vos conseils j'ai écrit :
Soit n appartenant à N (je ne sais pas comment écrire en langage maths sur mon téléphone^^)
n=3k+r avec 0<r<3 et k appartient a Z
Donc on distingue trois solutions possibles pour r :
Soit r = 0
n=3k
Soit r=1
n=3k+1
Soit r=2
n=3k+2
Comme ce sont les seules écritures possibles on en déduit que les entiers naturels n ne peuvent s'écrire que sous la forme 3k, 3k+1 ou 3k+2
C'est juste ?
Et pas de soucis pour l'erreur de parenthèse )