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Niveau maths spé
Exercice de probabilité
Posté par Neex34
Bonjour ! 
Je suis confronté à un certain exo de probas assez dur. Voici l'énoncé.
Cinq joueurs sont positionnés de sorte à former un pentagone.
On donne une carte à deux de ces joueurs de sorte que la distance entre les cartes valent 2, c'est-à-dire que les personnes qui détiennent une carte sont séparés par un autre joueur.
Définie ainsi, la distance entre les cartes peut valoir 0, 1 ou 2.
Le jeu consiste alors à ce qu'à chaque instant, chaque personne détenant une carte passe simultanément sa carte à un joueur à côté d'elle. On incrémente alors l'instant de 1.
On T la variable aléatoire qui donne le premier instant où les cartes se rejoignent.
Quelle est l'espérance de T ?
Pour essayer de résoudre ça, j'ai tenté de définir la distance entre les cartes à l'instant
.
Ensuite, en considérant le vecteur aléatoire défini par :
en utilisant les probabilités conditionnelles et tout ça, on obtient ceci :
avec
C'est bien la transposée d'une matrice stochastique, donc c'est cohérent (c'est du moins ce que je trouve)
Seulement les valeurs propres de A ne sont pas simples... (par simples, j'entends rationnelles) donc voila, on peut la diagonaliser mais le calcul est atroce, et d'après mon prof il existe une méthode plus jolie (qui utiliserait des séries il me semble)
Quelqu'un voit comment faire ?
Je rappelle que le problème est de déterminer l'espérance de T, qui donne l'instant de la première rencontre des cartes, c'est à dire le plus petit tel que
.
J'espère que vous saurez m'aider ! C'est un exercice d'oral de l'X
Merci beaucoup
Bonjour,
je suppose, vu ce que tu fis, que chaque joueur choisi le voisin au quel il passe la carte avec une proba 1/2 et indépendamment de l'autre.
L'idée est de faire un arbre plutôt qu'un diagramme de transition.
On arrive alors à
Et je te laisse compléter.
On a alors un calcul de somme assez facile.
Flight : désolé mais je vois pas comment éclaircir ça... C'est juste cinq personnes qui ont, a elles cinq, deux cartes qu'elles se font tourner à chaque tour
Verdurin : ça a l'air intéressant !
Ceci dit je vois pas comment vous construisez votre somme..
Quand la distance est 2 on a :
-- une proba 1/4 de terminer en un coup ;
-- une proba 1/4 de rester à une distance 2, alors à la même espérance d'où le E+1 ;
-- une proba 1/2 de passer à une distance 1.
Quand la distance est 1 on a :
-- une proba 1/4 de passer à une distance 2 ;
-- une proba 3/4 de rester à une distance .
Et à chaque fois on a joué un coup de plus.
Ce qui me fait penser qu'il y a beaucoup plus simple comme méthode.
En notant x l'espérance de T quand on part d'une distance 2 et y l'espérance de T quand on part d'une distance 1, on peut écrire un système dont x et y sont les solutions.
Je vois pas comment on peut arriver à cette somme comme ça, mais c'est peut-être ça la "méthode qui utilise une certaine série"
Mais sinon avec la méthode du système ça a l'air de bien marcher, j'ai trouvé une espérance de 8 si on part de d=2 et 12 si on part de d=2, ça m'a l'air bon !
La difficulté de cet oral de l'X devait sûrement être d'expliquer ça avec rigueur mais bon vu comment l'énoncé était posé..
Merci beaucoup
Je dirais que vous avez inversé le "1/4" et le "1/2 de la première ligne
Le probabilité de conserver la même distance d'un instant à l'autre est toujours supérieure à 1/2
En effet. 
J'ai d'ailleurs fait la même erreur dans la somme que j'ai donnée dans mon premier message.