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Niveau Master
Exercice de probabilité - Hérédité d'une maladie
Posté par uphaze
Bonjour.
Étant actuellement en école d'ingénieur et passionné par les probabilités, j'aimerais vous proposer un sujet que j'ai inventé, et que je n'arrive pas moi-même à résoudre (même si je sais qu'il ne fait intervenir que des combinaisons, je n'arrive pas à trouver lesquelles faire intervenir dans ce problème). Arriverez-vous à aider cette pauvre maman qui a peur de contaminer son petit ?
Voici le sujet.
Citation :
PROBLÈME DU GÉNOTYPE Y
Une femme enceinte est actuellement aux urgences pour suspicion d'avoir attrapé une maladie grave. Elle serait, en plus, susceptible de la transmettre à son enfant par voie génétique. Elle souhaite donc savoir à quelle probabilité son fils pourrait hériter de cette maladie, si elle l'avait.
Son médecin lui a dit que cette maladie se manifeste dans le corps humain à travers 12 gènes : on appelle « génotype Y » l'ensemble de ces 12 gènes. Ces 12 gènes disposent de valeurs aléatoires, comprises entre 0 et 31. Pour certifier la maladie, il faut que les 12 gènes aient une valeur de 31.
La mère transmet obligatoirement 5 gènes de son génotype Y (choisis aléatoirement), par voie génétique, au génotype Y de son bébé.
Le génotype Y du bébé ne contient que 6 gènes. Ce qui signifie que cette maladie est fortement héréditaire.
Après une analyse du sang de la mère, le médecin lui a dit qu'elle disposait de x gènes de son génotype Y égaux à 31.
Exemple du génotype Y de la mère dans le cas où x = 10 :
Exemple du génotype Y du bébé dans le cas où la mère lui aurait transmis les gènes 2,4,6,8 et 11 à la place de ses gènes 1,2,3,4,5 (le 6ème ayant une valeur aléatoire comprise entre 0 et 31, ici 5) :
Dans ce cas précis, ni la mère, ni le bébé, ne sont atteints de la maladie.
1) Quelle est la probabilité p que l'enfant attrape la maladie (on rappelle que la mère dispose de x gènes égaux à 31) ?
La mère apprend désormais que si l'un des gènes du génotype Y a une valeur de 0, il contient une immunité rare contre beaucoup d'autres maladies.
On s'intéresse donc maintenant à la probabilité de disposer d'un gène égal à 0.
Toujours sachant que la mère dispose de x gènes égaux à 31, elle dispose également de y gènes égaux à 0.
2) Quelle est la probabilité p, en fonction de x et y, qu'un gène du bébé soit égal à 0 et que ses 5 autres soient égaux à 31 ?
3) Quelle est la probabilité p, en fonction de x et y, que deux gènes du bébé soit égaux à 0, et que ses 4 autres soient égaux à 31 ?
PROBLÈME DU GÉNOTYPE Y
Une femme enceinte est actuellement aux urgences pour suspicion d'avoir attrapé une maladie grave. Elle serait, en plus, susceptible de la transmettre à son enfant par voie génétique. Elle souhaite donc savoir à quelle probabilité son fils pourrait hériter de cette maladie, si elle l'avait.
Son médecin lui a dit que cette maladie se manifeste dans le corps humain à travers 12 gènes : on appelle « génotype Y » l'ensemble de ces 12 gènes. Ces 12 gènes disposent de valeurs aléatoires, comprises entre 0 et 31. Pour certifier la maladie, il faut que les 12 gènes aient une valeur de 31.
La mère transmet obligatoirement 5 gènes de son génotype Y (choisis aléatoirement), par voie génétique, au génotype Y de son bébé.
Le génotype Y du bébé ne contient que 6 gènes. Ce qui signifie que cette maladie est fortement héréditaire.
Après une analyse du sang de la mère, le médecin lui a dit qu'elle disposait de x gènes de son génotype Y égaux à 31.
Exemple du génotype Y de la mère dans le cas où x = 10 :
| Gène | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Valeur du gène | 31 | 31 | 31 | 31 | 31 | 31 | 31 | 18 | 31 | 23 | 31 | 31 |
Exemple du génotype Y du bébé dans le cas où la mère lui aurait transmis les gènes 2,4,6,8 et 11 à la place de ses gènes 1,2,3,4,5 (le 6ème ayant une valeur aléatoire comprise entre 0 et 31, ici 5) :
| Gène | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Valeur du gène | 31 | 31 | 31 | 18 | 31 | 31 |
Dans ce cas précis, ni la mère, ni le bébé, ne sont atteints de la maladie.
1) Quelle est la probabilité p que l'enfant attrape la maladie (on rappelle que la mère dispose de x gènes égaux à 31) ?
La mère apprend désormais que si l'un des gènes du génotype Y a une valeur de 0, il contient une immunité rare contre beaucoup d'autres maladies.
On s'intéresse donc maintenant à la probabilité de disposer d'un gène égal à 0.
Toujours sachant que la mère dispose de x gènes égaux à 31, elle dispose également de y gènes égaux à 0.
2) Quelle est la probabilité p, en fonction de x et y, qu'un gène du bébé soit égal à 0 et que ses 5 autres soient égaux à 31 ?
3) Quelle est la probabilité p, en fonction de x et y, que deux gènes du bébé soit égaux à 0, et que ses 4 autres soient égaux à 31 ?
Voilà voilà, je vous souhaite bon courage !
J'ai eu des éléments pour la question 1 : je sais que si x = 12, p = 1/32 (car le 6ème gène n'a qu'une chance sur 32 de tomber aussi à 31).
En revanche, pour les autres, je ne sais pas...
Si vous trouvez que mon sujet n'est pas assez précis et/ou que vous avez des questions, n'hésitez pas non plus.
Citation :
j'aimerais vous proposer un sujet que j'ai inventé
j'aimerais vous proposer un sujet que j'ai inventé
C'est quoi ce pipeau
?
Bon bref...
A supposer que le modèle probabiliste que tu sous-entends ait du sens dans la réalité :
P(Bébé atteint) = P(6 génomes "31" sur les 5 transmis, plus le 6ème "31" tiré au sort)
Donc pour le génome 1, il faut piocher un "31" parmi les 10 disponibles sur 12 au total,
puis pour le génome 2, il faut piocher un "31" parmi les 9 encore disponibles sur les 11 restant dorénavant...
... et ainsi de suite pour les 5 génomes hérités.
Le dernier est tiré au sort : 1/32
Soit environ 1% de "chances"...
Je te laisse "inventer" la suite
...