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Niveau Maths sup
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Exercice de révision

Posté par margotte (invité) 07-08-05 à 11:48

Bonjour, pouvez vous m'aider à faire ces exercices de révision car je bloque sur pas mal de point.
Merci bcp


ANALYSE

Exercice 1 On définit
une suite réelle (Un)n£N par :

U0>=0et, pour n
>= 1, un = rac(n+U(n-1))
/
1. Montrer que pour tout entier n,
un >=rac(n).
2.
(a) Montrer que : quelquesoit x £ R+, rac(x)<=(1/2)
(1+x)
(b) En déduire que pour tout entier n, un
<= n+ U0/2^n puis que la suite ( U(n-1)/n²)n>=1 converge vers 0.
(c) Montrer que la suite (Un/n )n>=1 converge vers 0, puis en remarquant que,
pour tout entier n non nul
1<=Un/rac(n)<=rac(1+U(n-1)/n), en déduire un équivalent de Un en +oo.
3. On pose wn
= un -rac(n). A l'aide d'un développement limité en 0 de rac(1+x)montrer
que la suite (wn)n£N
admet une limite L que l'on précisera.

4. Calculer
lim (rac(n) — rac(n — 1)) puis lim (un — u(n-1)).
n—+oo n—+oo

Justifier alors qu'il existe un entier naturel n0 tel que pour tout entier n, si n>= n0 alors un>= U(n-1)-1/2

Montrer que Un+1 -Un est du signe de 1 + un — un-1,
puis que la suite (un) est croissante à partir d'un certain rang.


5. Ecrire en MATLAB une fonction
ayant pour nom suite qui calcule le terme d'indice n de la suite lorsque u0 = 1.

Exercice 2 Soit / la fonction
numérique définie sur [1, +oo[ par la relation

F(t)=e^t/t

1. (a) Montrer que la fonction f est
strictement croissante.

(b) En déduire que,
pour tout nombre entier naturel non nul n,

e^n/n<=intf(t)dt
de n à n+1<=e^(n+1)/n+1
Montrer que l'equation
e^x/x=int f(t)dt de n à n+1 admet une solution et une seule dans l'intervalle [n ;n+1]
On notera Un cette solution ce qui définit la suite (Un) n>0

2. a Montrer
que pour tout nombre entier naturel non nul p, 0<=intf(t)dt de 1 à 2 -(1/p)sumf(1+k/p)
de k=0 à p-1<=(1/p)[f(2)-f(1)]
3. (a)
Montrer que
lim un/n=1 pour n tendant vers +oo
(b) Montrer que

lim int e^t/t² dt de n à 1/int e^t/t dt de nà
n+1 =0

(b) En utilisant la méthode des
rectangles, donner une valeur approchée à 0,1 près de l'intégrale intf(t) dt
de 1 à 2 . En déduire une valeur approchée de u\ à 0,1 près.

lim un/n=1 pour n tendant vers +oo

lim int e^t/t² dt de n à 1/int e^t/t dt de nà
n+1 =0

A l'aide d'une intégration par parties,
montrer que lim (Un-n)=ln(e-1) n tendant vers +oo

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 07-08-05 à 12:01

Bien sûr que nous pouvons t'aider !
Tu dis : "je bloque sur pas mal de point."
Sur lesquels bloques-tu ?

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 07-08-05 à 12:14

As-tu réussi le début de l'exercice 1 ?
1. est évident : n+u_{n-1} \ge n \ge 0 et on applique la fonction croissante "racine carrée" à cette inégalité.
2.(a) peut se montrer en élevant cette inégalité au carré
2.(b) peut se montrer facilement par récurrence

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 07-08-05 à 12:21

Pour l'exercice 2...

1.(a) Il suffit de dériver

1.(b)
D'après 1.(a), pour t dans [n;n+1],
f(n) \le f(t) \le f(n+1)
Et on intègre par rapport à t entre n et n+1.
On obtient...

Puis le résultat de la fin de la question fait penser au théorème des valeurs intermédiaires.
Il suffit de l'appliquer à \phi(x)=e^x - \Bigint_n^{n+1} f(t)dt continue.
\phi(n) \le 0 \le \phi(n+1)
Donc il existe un réel de [n;n+1] qui annule \phi.

Posté par margotte (invité)Aide pour le deuxième exo 08-08-05 à 13:00

Bonjour!
J'ai réussi à faire le premier exo mais je bloque toujours sur le deuxième malgré les explications, pourriez vous m'aider?
Merci encore

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 16:00

margotte, tu bloques... mais tu ne dis pas où !
Je ne peux pas croire que cela soit à la première question, après l'indice ci-dessus.

Exercice 2 - 1.(a)

F est dérivable sur [1;+\infty[
F'(t)=\frac{e^t(t-1)}{t^2} > 0 pour t>1
donc F est strictement croissante sur [1;+\infty[

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 16:05

Exercice 2 - 1.(b) 1ère partie

Là encore, l'indice était quand même clair.
f est strictement croissante, donc
pour tout t\in[n;n+1], f(n) \le f(t) \le f(n+1)
On intègre par rapport à t entre n et n+1
\Bigint_n^{n+1} f(n) dt \le \Bigint_n^{n+1} f(t) dt \le \Bigint_n^{n+1} f(n+1) dt
f(n)(n+1-n) \le \Bigint_n^{n+1} f(t) dt \le f(n+1)(n+1-n)
f(n) \le \Bigint_n^{n+1} f(t)dt \le f(n+1)
\frac{e^n}{n} \le \Bigint_n^{n+1} f(t) dt \le \frac{e^{n+1}}{n+1}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 16:11

Exercice 2 - 1.(b) 2nde partie

Soit \phi(x) = f(x) - \Bigint_n^{n+1} f(t) dt
(bien remarquer que \Bigint_n^{n+1} f(t) dt est une constante)

D'après la première question, \phi est strictement croissante.

Or \phi(n) = \frac{e^n}{n} - \Bigint_n^{n+1} f(t) dt \le 0
et \phi(n+1) = \frac{e^{n+1}}{n+1} - \Bigint_n^{n+1} f(t) dt \ge 0
d'après la question précédente.

Et \phi est continue.

Donc il existe un unique x dans [n;n+1] qui annule \phi, c'est-à-dire tel que :
\frac{e^x}{x} = \Bigint_n^{n+1} f(t) dt

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 16:32

Exercice 2 - 2.a.

On veut montrer que :
\forall p\in \mathbb{N}^*, 0 \le \Bigint_1^2 f - \frac{1}{p} \Bigsum_{k=0}^{p-1} f(1+\frac{k}{p}) \le \frac{1}{p}((f(2)-f(1))

Cela a l'air horrible, mais en fait c'est très simple. Tu reconnais un encadrement proche des questions précédentes. Il suffit d'appliquer la même méthode.

On divise [1,2] en p intervalles de longueur 1/p : [1,1+1/p], [1+1/p,1+2/p], ..., [1+(p-1)/p, 1+p/p]

Sur chaque intervalle, f est croissante

Donc :
\forall k\in\mathbb{N}, 1\le k\le p-1, \forall t\in [1+\frac{k}{p};1+\frac{k+1}{p}], f(1+\frac{k}{p}) \le f(t) \le f(1+\frac{k+1}{p})

On intègre par rapport à t entre 1+k/p et 1+(k+1)/p :
\forall k\in\mathbb{N}, 1\le k\le p-1, \frac{1}{p}f(1+\frac{k}{p}) \le \Bigint_{1+\frac{k}{p}}^{1+\frac{k+1}{p}} f \le \frac{1}{p}f(1+\frac{k+1}{p})

On somme de k=0 à k=p-1 :
\frac{1}{p} \Bigsum_{k=0}^{p-1}f(1+\frac{1}{k}) \le \Bigint_1^2 f \le \frac{1}{p} \Bigsum_{k'=0}^{p-1}f(1+\frac{k'+1}{p})

On fait un changement d'indice dans la dernière somme :
\frac{1}{p} \Bigsum_{k=0}^{p-1}f(1+\frac{1}{k}) \le \Bigint_1^2 f \le \frac{1}{p} \Bigsum_{k=1}^{p}f(1+\frac{k}{p})

\frac{1}{p} \Bigsum_{k=0}^{p-1}f(1+\frac{1}{k}) \le \Bigint_1^2 f \le \frac{1}{p} \Bigsum_{k=0}^{p-1}f(1+\frac{k}{p}) + \frac{1}{p}f(2) - \frac{1}{p}f(1)

D'où la formule demandée.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 16:36

Fini pour ce soir de mon côté.
C'est long de taper en LaTeX. Tu aurais d'ailleurs pu faire l'effort, non ?

Indice pour Exercice 2 - 3.a. :
Par définition, n \le u_n \le n+1

Posté par margotte (invité)merci 08-08-05 à 17:01

Encore merci pour tout et je savais pas qu'on pouvait écrire en latex la prochaine fois je le ferai car c'est quand meme bien plus clair...
J'ai fait une petite erreur sur l'énoncé du deuxième exo il manque une question pour la partie 2 voilà l'énoncé revu et corrigé encore merci je vais étudier tout ca bien soigneusement



exercice 2 revu et corrigé

Exercice 2 Soit / la fonction
numérique définie sur [1, +oo[ par la relation

F(t)=e^t/t

1. (a) Montrer que la fonction f est
strictement croissante.

(b) En déduire que,
pour tout nombre entier naturel non nul n,

e^n/n<=intf(t)dt
de n à n+1<=e^(n+1)/n+1
Montrer que l'equation
e^x/x=int f(t)dt de n à n+1 admet une solution et une seule dans l'intervalle [n ;n+1]
On notera Un cette solution ce qui définit la suite (Un) n>0

2. a Montrer
que pour tout nombre entier naturel non nul p, 0<=intf(t)dt de 1 à 2 -(1/p)sumf(1+k/p)
de k=0 à p-1<=(1/p)[f(2)-f(1)]

b) En utilisant la méthode des
rectangles, donner une valeur approchée à 0,1 près de l'intégrale intf(t) dt
de 1 à 2 . En déduire une valeur approchée de u1à 0,1 près.
3. (a)
Montrer que
lim un/n=1 pour n tendant vers +oo
(b) Montrer que

lim (int e^t/t² dt de n à 1)/(int e^t/t dt de nà
n+1 )=0


A l'aide d'une intégration par parties,
montrer que lim (Un-n)=ln(e-1) n tendant vers +oo

merci encore

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 17:08

Allez, à toi de chercher un peu !
Le but n'est pas de m'exercer (même si j'apprécie l'attention ), mais te t'exercer, toi.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 17:18

Exercice 2 - 3 (b)
Confirmes-tu l'énoncé "lim (int e^t/t² dt de n à 1)/(int e^t/t dt de nà
n+1 )=0"

La première intégrale est de n à 1 ? (dans ce cas, elle est négative, amis pourquoi pas ?)
La première intégrale est en 1/t2 et la seconde en 1/t ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 17:25

Je continue quand même, car je ne suis pas sûr de pouvoir poster la suite demain...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 17:28

Exercice 2 - 3.a.
Cette question est évidente.
Par définition de u_n, n \le u_n \le n+1
Donc 1 \le \frac{u_n}{n} \le 1+\frac{1}{n}
et limite de u_n quand n tend vers l'infini = 1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 17:30

Exercie 2 - 3.b.

On demande de montrer que :
\lim_{n\to +\infty} \frac{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^2}}{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t}} = 0
(J'ai corrigé ton énoncé, manifestement faux.)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 17:35

Or, sur [n;n+1],
\frac{e^t}{t^2} \le \frac{e^t}{tn}

Donc :
0 \le \frac{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^2} dt}{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^} dt} \le \frac{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{tn} dt}{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^} dt} = \frac{\frac{1}{n} \Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t} dt}{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^} dt} = \frac{1}{n}

D'où le résultat.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 08-08-05 à 17:56

Finissons en beauté : toute dernière question de l'exercice !

Rappelons que, par définition, \frac{e_{u_n}}{u_n}=\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t} dt.

On cherche lim(un-n), et l'énoncé nous dit qu'elle est en forme de ln(...). Par conséquent, étudions e^{u_n-n}

e^{u_n-n} = \frac{e^{u_n}}{e_n}=\frac{u_n.\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t} dt}{e^n}

On suit l'indication de l'énoncé en intégrant par partie, dérivant 1/t et intégrant l'exponentielle :
e^{u_n-n} = \frac{u_n}{e^n}[\frac{e^{n+1}}{n+1}-\frac{e^{n}}{n}+\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^2}dt]
=\frac{u_n}{e^n} [\frac{e^{n+1}}{n+1}-\frac{e^{n}}{n}] +\frac{u_n}{e^n}\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^2}dt
=\frac{u_n}{e^n} [\frac{e^{n+1}}{n+1}-\frac{e^{n}}{n}] + \frac{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^2}dt}{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t}dt}
=e.\frac{u_n}{n+1}-1.\frac{u_n}{n}+\frac{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^2}dt}{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t}dt}
qui tend vers e-1 quand n tend vers l'infini.

Donc un-n tend vers ln(e-1).

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 09-08-05 à 04:05

Je reviens sur la toute dernière question, qui peut faire peur. En fait, elle est plutôt simple, à condition de prendre un peu de recul sur l'exercice.

Voici le raisonnement que j'ai tenu au brouillon, qui n'est pas un modèle, mais qui est peut-être plus simple à comprendre que ma reformulation du message précédent.

D'abord, et c'est une bonne habitude en général, on écrit clairement sur son brouillon les résultats dont on dispose déjà :
(1) par définition, n \le u_n \le n+1
(2) par définition, \frac{e^{u_n}}{u_n}=\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t}dt
(3) \frac{u_n}{n}\to 1
(4) \frac{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^2}dt}{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t}dt} \to 0

On nous demande de montrer que u_n-n\to \ln(e-1)
Le logarithme nous incite à passer à l'exponentielle :
\frac{e^{u_n}}{e^n}\to e-1 ?
... d'autant plus que l'on retrouve alors une forme \frac{e^{...}}{...} qui est celle qui apparait dans les questions précédentes.

L'énoncé nous propose de faire une intégration par parties. Mais laquelle ? Vu la forme de (4) avec des \frac{e^t}{t^2} et \frac{e^t}{t}, la seule IPP simple qui vient à l'esprit est :
\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t}dt = \frac{e^{n+1}}{n+1} -\frac{e^{n}}{n}+ \Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t^2}dt

On voit que c'est le bon moment pour utiliser (4), en divisant chaque membre de l'égalité par \Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t}dt
1 = \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1} -\frac{e^{n}}{n}}{\Bigint_n^{n+1} \frac{e^t}{t}dt} + \eps(n)
où \eps(n) \to 0

Maintenant, on est bien embêté par l'intégrale au dénominateur. Utilisons (2) pour la faire disparaître :
1 = \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1} -\frac{e^{n}}{n}}{\frac{e^{u_n}}{u_n}} + \eps(n)

Et, là... on sent que c'est presque fini ! Il n'y a plus d'intégrale. Avec une forme pareille, on se dit qu'on pourra retrouver notre e^{u_n}/e^n
1 = \frac{u_n}{e^{u_n}}.\frac{e^n}{n}.(e.\frac{n}{n+1}-1) + \eps(n)
1 = \frac{e^n}{e^{u_n}}.\frac{u_n}{n}.(e.\frac{n}{n+1}-1) + \eps(n)
\frac{e^{u_n}}{e^n}=\frac{\frac{u_n}{n}.(e.\frac{n}{n+1}-1)}{1-\eps(n)}
\frac{e^{u_n}}{e^n}=e.\frac{\frac{u_n}{n}.\frac{n}{n+1}}{1-\eps(n)}+1.\frac{\frac{u_n}{n}}{1-\eps(n)}
\to e-1

D'où le résultat.

Nicolas


Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 09-08-05 à 09:10

Pour ceux que cela intéresse, voici une solution possible de l'exercice 1.

1. u_n = \sqrt{n+u_{n-1}} \ge \sqrt{n}

2.(a) pour x>0, \sqrt{x} \le \frac{1+x}{2} \Leftrightarrow x \le (\frac{1+x}{2})^2 \Leftrightarrow (\frac{1-x}{2})^2\ge 0

2.(b)-1 On montre u_n \le n+\frac{u_0}{2^n} par récurrence :
u_1=\sqrt{1+u_0} \le \frac{1+u_0}{2} < 1+\frac{u_0}{2}
u_{n+1} = \sqrt{n+1+u_n} \le \frac{1+n+1+u_n}{2} \le \frac{1+n+1+n+u_0/2^n}{2} = \frac{n+1}{2}+\frac{u_0}{2^{n+1}}

2.(b)-2
0 \le \frac{u_{n-1}}{n^2} \le \frac{n-1+u_0/2^{n-1}}{n^2} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}+\frac{u_0}{n^22^{n-1}}
Donc \frac{u_{n-1}}{n^2}\to 0

2.(c)-1
\frac{u_n}{n}=\frac{1}{n}\sqrt{n+u_{n-1}}=\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{u_{n-1}}{n^2}}\to 0

2.(c)-2
1 \le \frac{u_n}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{1+u_{n-1}}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{u_{n-1}}{n}} \le \sqrt{1+\frac{u_{n-1}}{n}}

2.(c)-3
Or \frac{u_n}{n}\to 0
Donc \frac{u_n}{\sqrt{n}}\to 1
u_n est équivalent à \sqrt{n}

3.
\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2)
On l'applique à x=\frac{u_{n-1}}{n}\to 0
\sqrt{1+\frac{u_{n-1}}{n}}=1+\frac{1}{2}\frac{u_{n-1}}{n}-\frac{1}{8}(\frac{u_{n-1}}{n})^2+o((\frac{u_{n-1}}{n})^2)
\frac{u_n}{\sqrt{n}}=1+\frac{1}{2}\frac{u_{n-1}}{n}-\frac{1}{8}(\frac{u_{n-1}}{n})^2+o((\frac{u_{n-1}}{n})^2)
u_n=\sqrt{n}+\frac{1}{2}\frac{u_{n-1}}{\sqrt{n}}-\frac{1}{8}\frac{u_{n-1}}{n}\frac{u_{n-1}}{\sqrt{n}}+o(\frac{u_{n-1}}{n}\frac{u_{n-1}}{\sqrt{n}})
Avec les limites déjà calculées ci-dessus, on en déduit :
w_n=u_n-\sqrt{n}\to\frac{1}{2}

4.-1
\sqrt{n}-\sqrt{n-1} = \frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{n-(n+1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\to 0

4.-2
u_n-u_{n-1}=(\frac{1}{2}+\sqrt{n}+\eps(n))-(\frac{1}{2}+\sqrt{n-1}+\eps'(n))
= \sqrt{n}-\sqrt{n-1}+\eps(n)-\eps'(n)
\to 0

4.-3
Donc il existe un n_0 au-delà duquel |u_n-u_{n-1}|\le\frac{1}{2}
c'est-à-dire : -\frac{1}{2} \le u_n-u_{n-1} \le \frac{1}{2}
Donc : u_n \ge u_{n-1}-\frac{1}{2}

4.-4
u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+1+u_n}-\sqrt{n+u_{n-1}}
= \frac{(\sqrt{n+1+u_n}-\sqrt{n+u_{n-1}})(\sqrt{n+1+u_n}+\sqrt{n+u_{n-1}})}{\sqrt{n+1+u_n}+\sqrt{n+u_{n-1}}}
= \frac{n+1+u_n-(n+u_{n-1})}{\sqrt{n+1+u_n}+\sqrt{n+u_{n-1}}}
= \frac{1+u_n-u_{n-1}}{\sqrt{n+1+u_n}+\sqrt{n+u_{n-1}}}
Donc, au-delà de n_0, u_{n+1}-u_n et 1+u_n-u_{n-1} sont de même signe.

4.-5
Après n_0, u_n \ge u_{n-1}-\frac{1}{2}
donc 1+u_n-u_{n-1}>0
donc u_{n+1}-u_n>0
et u_{n+1}>u_n
Donc, après n_0, (u_n) est strictement croissante.

Nicolas

Posté par margotte (invité)re : Exercice de révision 31-08-05 à 23:43

Bonjour, voilà je reviens sur un exo car il y a une question que j'ai pas très bien compris, il s'agit de l'exercice 2 posté le 8/08 à 17h01 voici la question b) 2)b)En utilisant la méthode des
rectangles, donner une valeur approchée à 0,1 près de l'intégrale intf(t) dt
de 1 à 2 . En déduire une valeur approchée de u1à 0,1 près.
Pouvez vous m'aider?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 01-09-05 à 06:08

margotte, je suis un peu trop naïf, et probablement quelquefois trop gentil.
Je pensais que tu "revenais sur cet exo" d'abord pour me remercier d'avoir passé plus de 2h à réfléchir et à taper en LaTeX une proposition de correction pour ces deux problèmes, face à un mur de silence.
Mais non. :(

Nicolas

Posté par margotte (invité)re : Exercice de révision 01-09-05 à 10:31

Je te prie de bien vouloir m'excuser car je pensai l'avoir fait à plusieurs reprises, mais c'était dans les messages précédents, alors un GRAND GRAND merci, car tu m'as vraiment aidé et je tenais à te dire que tu expliques très bien. Mieux que mon prof en tout cas!
Après ça maintenant je ne sais pas si tu vas bien vouloir me répondre à nouveau sur cette question, mais à tout hasard merci d'avance!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 01-09-05 à 13:45

Margotte, merci de ton dernier message.

Exercice 2 Question 3. (b) En utilisant la méthode des
rectangles, donner une valeur approchée à 0,1 près de l'intégrale intf(t) dt
de 1 à 2

Normalement, tu as dû voir cela en cours.
Un peu d'initiative est également possible. J'ai cherché "intégrale méthode des rectangles" sous Google, et le premier lien

http://homeomath.imingo.net/methrect.htm
explique bien la méthode.

Va y jeter un oeil. Regarde bien le dessin en haut.

f étant croissante sur [1;2], on a pour tout n :
\frac{1}{n}\Bigsum_{i=0}^{n-1}f(1+\frac{i}{n})\le \Bigint_1^2 f(t)dt \le \frac{1}{n}\Bigsum_{i=1}^{n}f(1+\frac{i}{n})

L'écart entre l'estimation haute et basse est égal à :
\Delta = \frac{1}{n}\Bigsum_{i=1}^{n}f(1+\frac{i}{n})-\frac{1}{n}\Bigsum_{i=0}^{n-1}f(1+\frac{i}{n})=\frac{f(2)}{n}-\frac{f(1)}{n}=\frac{\frac{e^2}{2}-e}{n}
On veut \Delta\le 0,1, c'est-à-dire :
n\ge (\frac{e^2}{2}-e)/0,1\approx 9,76
n\ge 10

estimation basse : \frac{1}{n}\Bigsum_{i=0}^{n-1}f(1+\frac{i}{n})=\frac{1}{10}\Bigsum_{i=0}^{9}\frac{e^{1+\frac{i}{10}}}{1+\frac{i}{10}}\approx 3,0118
estimation haute : \frac{1}{n}\Bigsum_{i=1}^{n}f(1+\frac{i}{n})= \frac{1}{10}\Bigsum_{i=1}^{10}\frac{e^{1+\frac{i}{10}}}{1+\frac{i}{10}}\approx 3,1095

Prenons la moyenne des deux estimations :
\Bigint_1^2 f(t)dt \approx 3,06 à 0,1 près

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Exercice de révision 01-09-05 à 13:50

En déduire une valeur approchée de u1 à 0,1 près.

Par définition, u_1 est l'unique solution dans [1;2] de :
\frac{e^{u_1}}{u_1}=\Bigint_1^2 f(t)dt

En utilisant l'approximation ci-dessus, et en résolvant numériquement cette équation, on obtient :
u_1\approx 1,57

Posté par margotte (invité)re : Exercice de révision 01-09-05 à 15:01

merci encore mille fois, je vais étudier tout ça tranquillement. A bientôt!


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