Peux-tu clarifier ta formule
Un+1=2/3(Un+1/(u^2n)
Elle est un peu ambigue. Est-ce que c'est :
Un+1=(2/3).(Un+(1/(Un^2n))
ou autre chose ?

oui,c Un+1=2/3(Un+(1/Un^2))

Cela ne serait pas plutôt :
U(n+1) = (2/3).(Un+(1/Un^2))
?

oui c exactement cela merci!!!!

Dans ce cas, étudie les variations de

oui alors j'ai tout d'abord étudié les variations de la fonction
f définie sur ]0,+inf[ par f(x)=2/3(x+(1/x^2))
j'ai trouvé qu'elle était croissante sur ]0,racine cubique de 2] et croissante sur [racine cubique de 2;+inf[
1) on me demande si x>= à racine cubique de 2 que peut on dire de f(x)?
j'ai répondu que f(x) était compris dans l'intervalle[racine cubique de 2,+inf[
est-ce ce que l'on attend???
Ensuite on me demande que dire de l'intervalle [racine cubique de 2,+inf[
je pensais dire qu'il était stable..
2)ensuite la question etait de montrer que quelque soit n appartient N,Un existe et Un>= racine cubique de 2
je pensais démontrer par récurrence mais je n'y arrive pas!!!
je n'ai pas trop compris comment faire l'hérédité!
Pouvez vous m'aider???

Je comprends que tu as montré que :


Remplace par :


C'est justement cela, l'hérédité de ta récurrence !

salut,

Un est stable et croissante de dans ce même intervalle.
Cela suffit à prouver son existence et la fait que Un

merci pour votre aide,mais je ne comprend pas trop comment utiliser la récurrence:
je dis:
initialisation
U0=2>racine cubique de 2
U1=(2/3)(2+(1/4))=3/2>racine cubique de 2
hérédité: on suppose que Pn vraie
P(n+1)=(2/3)(U(n+1)+(1/(U(n+1)^2))
et je sais pas trop comment faire!!!!!

et comment prouver que un est stable?

quelqu'un peut il m'expliquer comment utiliser l'hérédité???

Je pensais que mon message de 15h44 était clair...

Je suppose que tu as montré que :

c'est-à-dire :
(*)

On veut montrer par récurrence la propriété :
: ""

est vraie.
Supposons vraie :
Alors, d'après (*) :

c'est-à-dire :

Donc est vraie.
Ceci termine la démonstration par récurrence.

Nicolas

Merci beaucoup pour votre aide!!!!C'est vraiment trés gentil de votre part!!

Je t'en prie.

maintenant,je suis bloquée pour trouver une limite de suite:
les suites sont toujours les mêmes:
(Un) par U0=2 et quelque soit n appartenant a N U(n+1)=2/3(Un+(1/Un^2))
et (Vn) par quelque soit n appartenant a N, Vn=2/(Un^2)
Dans mes questions précédentes,j'ai montré que Un>=racine cubique de 2
et que Vn<=racine cubique de 2
Ensuite que (Un) et (Vn) sont monotones
Puis que quelque soit n appartenant a N 0<=U(n+1)-V(n+1)<=2/3(Un-Vn)
Il faut maintenant que j'en deduise la limite de (Un-Vn)???
je voulais faire la lim de (Un) et celle de (Vn) mais je ne vois pas comment calculer la limite de Un??
Pouvez vous m'aider s'il vous plait????

Si tu as montré que 0<=U(n+1)-V(n+1)<=2/3(Un-Vn)
Alors une récurrence facile te permettra de montrer que :
0 <= U(n)-V(n) <= (2/3)^n (U0-V0)
Tu pourras en déduire U(n)-V(n) -> 0

merci beaucoup!!!!
Je dois aussi en déduire que les deux suites convergent et leurs limites...
puis-je utiliser le théoréme des suites monotones???

Je ne connais pas l'énoncé de ce théorème.
Tu dois pouvoir montrer que les suites sont adjacentes, non ?

non je n'ai pas a montrer que les suites sont adjacentes mais je voulais le montrer mais en commencant,
Je trouve que Un>=Vn et j'avais trouvé que Un etait croissante pourtant quand on calcul Un+1-Un<0 je trouve qu'elle est décroissante Vn croissante dans ce cas je peux appliquer le théoréme!!!
Pouvez vous me confirmer si Un est décroissante??
Car j'avais étudié la fonction f qui elle était croissante sur racine cubique de 2;+inf[ mais décroissante sur ]0,racine cubique de 2]

Si tu trouves que :
(i) (Un) décroissante
(ii) (Vn) croissante
(iii) Vn =< Un pour tout n
(iv) lim(Un-Vn) = 0
cela signifie que les deux suites sont adjacentes, non ?
Ton cours dit autre chose ?

non c'est exactement cela
Merci beaucoup

Je t'en prie.

j'ai presque achevé mon exercice!
Il ne me reste plus qu'a trouver la limite que ces deux suites convergentes encadrent mais je sais pas trop comment faire

Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question.
Soit L la limite commune à (Un) et (Vn).
Tu as montré que Vn =< V2 =< Un pour tout n.
Passe à la limite : L =< V2 =< L
Donc L = V2

Je ne comprends pas trop,
A quoi corresponds V2 s'il vous plait?

Je me suis trompé.
Lire V2 comme

je comprends mieu!
Merci beaucoup!
Une dernière question comment puis-je prouver qu'une suite dont la fonction est non croissante est monotone?

Peux-tu donner un exemple ?

non pas vraiment!!
C'est pour Vn car Vn=2/(U^2n)
la fonction est décroissante donc je ne sais pas comment maintenant dire qu'elle est monotone

Quelle est pour toi la définition de la monotonie ?

Bonjour, cinnamon !

je sais pas justement! j'ai besoin de votre aide

Soit I un intervalle, et f une fonction définie sur cet intervalle.
f est dite (strictement) monotone si et seulement si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante sur I.
Non ?

oui c'est vrai!!!
merci beaucoup beaucoup Nicolas_75 pour votre aide!

Je t'en prie.