Bonjour,

Je viens de commencer les cours de topologie mais je ne comprends pas vraiment les notions de boule fermé et ouvertes, ou plutôt je comprends mais quand on me demande de démontrer mes réponses la démonstration est plus compliquée. Voila un énoncé d'exercice avec le corrigé:

Enoncé:
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés :
A={(x,y)∈R2∣0<|x−1|<1}

C={(x,y)∈R2∣|x|<1,|y|≤1}

Corrigé:

A est ouvert. En effet, si (x,y)∈A, alors 0<|x−1|<1, c'est-à-dire que x≠1 et 0<x<2. On sait alors qu'il existe ε>0 tel que 1∉]x−ε,x+ε[ et 0<x−ε<x+ε<2. Alors, B((x,y),ε) (pour la norme infinie) est contenue dans A. A n'est pas fermé, car la suite (un) définie par un=(1/n,0) est une suite d'éléments de A qui converge vers (0,0) qui n'est pas dans A.

C n'est pas fermé, car si un=(1−(1/n),1), (un) est une suite d'éléments de C qui converge vers (1,1) qui n'est pas dans C. C n'est pas ouvert, car toute boule contenant le point (0,1), qui est dans C, contient des éléments qui ne sont pas dans C (par exemple les points (0,1+ε).

Voila je ne comprends pas les explications, ni pourquoi le choix de ces suites et ce qui lie les suites aux ensembles A ou C. Je ne comprends pas non plus l'écriture  
un=(1−(1/n),1) est ce que cela veut dire qu'on définie la suite un tel que l'ordonnée soit toujours égal à 1? ou bien c'est la boule de rayon 1 et de centre 1-(1/n).

Est-ce que vous pourriez éclairer ma lanterne

Cordialement.