Salut Darchov,

soit y un point de A' (je vais noter A' au lieu de ), montrons que d(y,A')=0.


Il existe par définition une suite y_n d'élements de A convergeant vers y.

On a, par définition de la convergence d'une suite: .

Par ailleurs d(y,A) est la borne inférieure des distances entre y et un point quelconque de A, donc d(y,A) est toujours inférieur ou égal aux distances entre y et les points de A, en particulier entre y et y_n.

Ainsi on a pour tout entier n:

.

Et en faisant tendre n vers l'infini, le théorème des gendarmes fournit bien d(y,A)=0.


Réciproquement soit y un réel tel que d(y,A)=0, montrons que y est dans A', autrement dit qu'il est limite d'une suite d'éléments de A.

Revenons à la définition de la distance, l'hypothèse s'écrit:

.

Mais par définition de la borne inférieure, pour tout il existe z dans A tel que

.

En particulier, pour tout n entier strictement positif, le choix de conduit à l'existence d'un élément vérifiant .

On en tire :

ce qui entraîne bien que le réel y est limite d'une suite (la suite ) d'éléments de A, et donc que y est élément de A'.



Tigweg

Par ailleurs d(y,A) est la borne inférieure des distances entre y et un point quelconque de A, donc d(y,A) est toujours inférieur ou égal aux distances entre y et les points de A, en particulier entre y et yn.
pas tres clair pour moi ça merci d'eclairchir :)

d(y,A) désigne intuitivement la plus petite distance entre y et les points de A.

Attention, elle n'est pas forcément atteinte, par exemple si A=[0;1[ et y =1, la distance entre y et A est 0,

mais aucun z de A ne vérifie exactement d(y,z)=0 puisque pour tout z dans A, z<1 d'où d(y,z)=1-z>0 .

Cependant quand z se rapproche de 1, la distance entre y et z se rapproche autant que souhaité de 0.


Plus précisément, la distance de y à A est toujours l'inf des réels d(y,z) obtenus lorsque z décrit A.
C'est donc bien un nombre toujours inférieur ou égal aux distances entre y et les points (z) de A.

Dans ton énoncé, pour tout n, le réel yn est dans A, donc d(y,A) est bien inférieur à d(y,yn).

Revenons à la définition de la distance, l'hypothèse s'écrit:
inf d(y,z)=0
je vois pas d'ou ça sort escuse moi ces ptetes des questions un peu cons ms je trouve vraiment tres dur la topologie c'est une branche des maths hyper bizarre:)

Oui, d(y,A) n'est autre que inf d(y,z).

Donc d(y,A)=0 équivaut bien à inf d(y,z)=0

Bonsoir tigweg

Salut cunctator

Ce n'est pas ce que je voulais dire, même si c'est aussi une possibilité.

Mais il faut bien garder à l'esprit qu'une borne inf (ou sup, c'est la même chose) n'est qu'un endroit duquel on peut être infiniment proche sans jamais le dépasser, point barre.

Autrement dit, il se peut qu'on puisse l'égaler (auquel cas on parle respectivement de min et de max), il se peut également qu'on ne le puisse jamais (cf mon exemple plus haut, où sup [0;1[=1 qui est bien réel mais jamais atteint par les éléments de [0;1[.Formulé différemment, [0;1[ n'admet pas de maximum.)

Mais tout cela est tellement plus simple que les mathématiques financières!

(Et ce n'est pas qu'une taquinerie cunctator!
La semaine dernière, j'ai parlé avec un conseiller fiscal qui m'a exposé les techniques habituelles de défiscalisation (pas pour moi, mon compte en banque n'intéresse personne!), je n'ai absolument RIEN compris à ce qu'il me racontait! Je hochais la tête comme un abruti, pour ne pas avoir l'air encore plus abruti!)


Tigweg

C'est même un max en l'occurence, vu que j'en dépasse souvent les limites!

De quels smileys parles-tu?

ceux là

Dans l'ordre, je dirais:

"Suis triste!" "Cool Raoul" "Wouf!""Je perds patience..." et "De qui se moque-t-on?!"

Merci
Avant d'aller me coucher, je peux savoir où tu es prof?

On veut tous l'avoir comme prof ce Greg

w@lid

J'enseigne près de Strasbourg
Bonne nuit cunctator!

C'est gentil ça Walid

Bonne nuit

Bonne nuit vous deux


w@lid