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Niveau école ingénieur
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exercice en espaces vectoriels

Posté par
eafas
02-02-13 à 13:07

bonjour
je veux savoir si cette démonstration est vrai
énoncé:
Soit E un espace vectoriel et f une application linéaire de E dans lui-même telle que f² = f .
Montrer que E = Ker f + Im f
mon réponse:
d'aprés theoreme de Rang: dimE = dim Ker(f) + dim Im(f)
                  alors  dimE= dim (kerf Imf)
Or (kerf Imf) un sous espace vectoriel de E donc E= Ker f Im f

Posté par
verdurin
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 13:16

Bonjour,
comme tu n'utilise pas le fait que f2=f, ta «démonstration» est valable pour toutes les applications linéaires... or ce n'est pas le cas.

Lze problème est qu'il n'est pas évident que la somme Ker(f) + Im(f) soit une somme directe.

Posté par
U-Vagabondu
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 13:30

Bonjour,

Pour commencer, où as-tu utiliser l'hypothèse que f2=f? Tu comprends donc que ta démonstration est fausse.
En effet, comment passes-tu de la 1ère ligne à la seconde?

Enfin, que signifie ici f2? fof ou fxf?

Posté par
U-Vagabondu
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 13:31

Désolé Verdurin, j'ai mis du temps à répondre. Je te laisse finir.

Posté par
eafas
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 13:48

f² ici c'est fof
et pour passer de 1 au 2eme ligne
on sait que dim(AB) = dim(A) + dim(B) (A et B 2 sous ev)

Posté par
verdurin
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 14:24

C'est vrai, mais il faut montrer que la somme est directe.
Si U et V sont deux sev de E, on peut toujours étudier U+V : c'est un sev de E.
Et on démontre que dim(U+V)dim(U)+dim(V).

Mais pour écrire UV il y a une condition.

Posté par
eafas
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 14:28

il faut que ker(f)Im(f) = {0}
et cela est toujours vrai, non?

Posté par
verdurin
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 14:36

Non.
Par exemple dans 2 f : (x,y)(0,x).
On a ker(f)=Im(f).

Mais c'est vrai si fof=f.
Il faut bien entendu le démontrer.

Posté par
eafas
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 14:48

j'ai recherché et j'ai trouvé un exercice qui demande de montrer:

----------------------------------------------------------------
soit f un endomorphisme d'un K espace vecctoriel E, montrer que:
Ker(f)=Ker(f²) <=> ker(f)Im(f)=E
----------------------------------------------------------------

est ce que c'est la seule maniére de répondre à cette question ?

Posté par
verdurin
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 15:10

C'est une manière, mais je crois qu'on peut faire moins général, en utilisant fof=f

Par exemple :

Soit xIm(f)Ker(f) on a x=f(t)  donc

f(f(t))=f(t)=x car fof=f
et
f(f(t))=f(x)=0 car xKer(f)

Je te laisse conclure.

Posté par
eafas
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 15:26

alors Ker(f)Im(f)={0}
et maintenant on a l'égalité               dim Ker(f) + dim Im(f)= dim (kerfImf)
n'est ce pas?

Posté par
verdurin
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 15:31

Oui.

Posté par
eafas
re : exercice en espaces vectoriels 02-02-13 à 15:37

merci beaucoup pour votre aide précieuse
bon week-end

Posté par
Ipeitienne
re : exercice en espaces vectoriels 04-02-13 à 09:04

slt eafas;

avant de se lancer à vérifier que la somme est directe, il faut montrer que E= imf+kerf

en effet le deuxième sens de l'inclusion est évident, donc reste à démontrer que E C imf + kerf.

on montre donc que x= z+y avec y ds kerf et z ds imf;
or x= f(x) -(f(x)-x))
z=f(x) imf
et comme f^2(x)=f(x) alors f(f(x))=f(x) d'ou f(x)=x càd f(x)-x=0 à kerf
et il reste à montrer que la somme et directe càd que imf kerf= {0}



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