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Niveau seconde
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Exercice entiers naturels

Posté par
Lululeloup
22-02-20 à 20:01

Bonsoir, j'ai un petit exercice à faire mais je ne comprend même aps la première question j'ai beau essayer de chercher et de réfléchir je n'arrive à rien.

Voici le sujet de l'exercice :

On cherche les couples d'entiers naturels non nuls (u;v) tels que a x b =c
1. Démontrer que les solutions (u;v) du problème dont les solutions de l'équation : (E) : v carré -2u carré =1 avec u et v dans N*

2. On suppose que (u;v) est solution de l'équation (E).
a) Exprimer v carré en fonction de u. En déduire que v est impaire.
b) On pose v=2k +1. Démontrer que u carré est pair
c) Quelle est là parité de u.

3. Vérifier que les couples suivants sont des solutions possibles du problème et déterminer pour chacun d'eux les longueurs a ,b et c correspondantes :
(2;3) et (12;17)

Exercice entiers naturels

Posté par
flight
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 20:08

salut

je ne vois pas le lien entre u , v et a,b,c

Posté par
flight
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 20:09

ah si ! tout est dans la figure désolé !

Posté par
flight
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 20:14

on dirait meme qu'il y a de l'equation de Pell la dedans mais pas à ton programme
à tu reussi la premiere question ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 21:27

Bonjour
commence par exprimer a, b et c grâce au th de Pythagore

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 21:45

J'ai pas compris comment je peux exprimer à b et c il sont dans dés triangles différents je fais comment ? Dois-je faire pythagore pour les 3 triangle d'hypotenuse a b et c ? Dans ce cas je nomme les sommets ?

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 21:46

Et non je ne l'es pas faire car je ne comprend aucune question.

Posté par
jarod128
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 21:50

Bonsoir,
As-tu calculé a? Il est fixé.

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 21:52

Non je ne l'ai pas calculé car je ne voyais pas le rapport avec la question mais je vais le faire du coup

Posté par
lafol Moderateur
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 22:24

est-il vraiment nécessaire de nommer les sommets pour écrire que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux cotés de l'angle droit ?

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 22-02-20 à 22:31

Pas forcément mais du coup on trouve a=racine de 2
Mais comment trouver b sans avoir u et c sans avoir v ?

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 08:56

Bonjour,

dans les triangles rectangles respectifs, on a:

c2=?

b2=?

a2=?

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 09:00

a carré = 2
Et les autres je ne sais pas

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 09:17

utilise  Pythagore dans les triangles rectangles correspondants

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 09:29

On ne peut pas on s deux inconnus : u et b puis c et v

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 09:36

je te demande d'écrire les relations dans les triangles rectangles, après on verra!

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 09:47

a ² =1 ² + 1 ²
b ² =1 ² + u ²
c ² =1 ² + v ²

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 09:55

mais c=a b

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 10:04

Donc c ² = a ² x b ²
D ou c ² = 2x (1+u ² )

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 10:37

reamarque: utilise * au lieu de X pour le signe multiplié car ça peut prêter à confusion

comme c2=a2b2  tu peux écrire une autre relation de b2 en fonction de v2

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 10:59

J'ai pas compris ce qu'il faut que je fasse.

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 11:01

Est ce
1  ²+  v  ²= a  ² *b  ² ??

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 11:09

oui mais a2vaut?

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 11:22

a  ²= 2

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 11:25

d'où en remplaçant dans 1+v^2

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 12:05

Je comprend pas

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 12:09

Est ce que c'est ça ?
1 ² + v ² = 2(1+u ² )
1+v ² = 2 + 2u ²
v ² = 1+ 2u ²
v ² -2u ² = 1

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 12:12

c^2=v^2+1

b^2=u^2+1

a^2b^2=c^2, a^2=2   d'où 2b^2=c^2

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 12:42

Oui bah c'est ce que j ai fait juste au dessus et j ai continuer de développer et je retombe sur la question. Désormais c est la question 2 que je ne comprends pas

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 12:50

il faut se souvenir que:

un nombre pair peut s'écrire sous la forme 2k

un nombre impair peut s'écrire sous la forme 2k+1 avec k

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 12:52

Oui je sais quel est le problème?

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 12:56

pars de v^2=2u^2+1 et envisage les 2 cas u pair et u impair

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 13:00

Si u est pair alors v ²  est impair car +1
Si u est impair alors v ²  est impaire car +1 dans tout les cas

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 13:38

Citation :
Si u est pair alors v ²  est impair car +1
Si u est impair alors v ²  est impaire car +1 dans tous les cas


c'est correct mais un peu court comme démo, je ne connais pas ton prof mais je ne sais pas si c'est suffisant comme explications!

Posté par
carpediem
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 13:46

Lululeloup @ 23-02-2020 à 13:00

Si u est pair alors v ²  est impair car +1
Si u est impair alors v ²  est impaire car +1 dans tout les cas
ne veut rien dire ...

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 13:53

carpediem @ 23-02-2020 à 13:46

Lululeloup @ 23-02-2020 à 13:00

Si u est pair alors v ²  est impair car +1
Si u est impair alors v ²  est impaire car +1 dans tout les cas
ne veut rien dire ...


salut carpediem

c'est vrai j'ai interprété un texte qui n'est pas clair du tout; de plus il faut détailler, non?

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 14:09

Très bien alors dans ce cas comment doit y on y expliquer ?

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 15:18

ben tiens compte de mon post de 12h50 et remplace u

Posté par
carpediem
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 16:31

Lululeloup @ 23-02-2020 à 14:09

Très bien alors dans ce cas comment doit y on y expliquer ?
en s'exprimant en français correctement car un prof (correcteur) n'accepte pas cela ...

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 16:39

oups! petite coquille

Pirho @ 23-02-2020 à 12:50

il faut se souvenir que:

un nombre pair peut s'écrire sous la forme 2k

un nombre impair peut s'écrire sous la forme 2k+1 avec k\in\matbb N

Posté par
lafol Moderateur
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 18:13

La disjonction des cas (u pair, u impair) est inutile. v carré égale 2 fois quelque chose plus 1 est bien suffisant pour affirmer que v carré est impair

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 18:20

Bonjour lafol

eh oui, au temps pour moi!

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 19:25

Je suis bien d accord mais c'est ce que je fais quand je rédige la c'est juste les questions que je comprend pas

Posté par
lafol Moderateur
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 19:43

je ne vois pas ce qu'on peut ne pas comprendre dans "Exprimer v carré en fonction de u. En déduire que v est impaire."

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 19:52

Non mais ça c'est bon j ai compris. Les autres questions..

Posté par
lafol Moderateur
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 19:55

"On pose v=2k +1. Démontrer que u carré est pair"

tu sais déjà que "v carré -2u carré =1"

pareil, je ne vois pas ce qui est difficile à comprendre, si tu sais ce que signifie "pair"

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 20:43

Un nombre est pair quand il est égale à 2k et impaire si il est égale à 2k+1

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 20:59

suis la suggestion de lafol

Posté par
Lululeloup
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 21:16

Je suis perdue j ai l impression de tout mélanger

Posté par
Pirho
re : Exercice entiers naturels 23-02-20 à 21:27

2 u^2=(2k+1)^2-1
 \\ 
 \\ (2k+1)^2 impair   donc   peut   s'écrire   2 K+1 
 \\ 
 \\ 2u^2=2K+1-1

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