Bonjour,

L'objectif que ton prof s'est donné est de résoudre cette équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2.
D'après ton cours, tu dois savoir que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2 dans ou et respectivement.
Donc il suffit de déterminer une base des solutions sur chacun de ces intervalles, ce qu'on appelle un système fondamental des solutions.

Ton énoncé te suggère de montrer qu'on peut avoir une solution simple du type polynomial et non identiquement nulle. On trouve bien .
Si on s'impose un coefficient a, ca nous donne alors un élément de notre base des solutions. Reste à trouver une autre solution afin que forment une base.

La, on fait intervenir le wronskien qui lui pourra nous donner une telle solution.
Dans ton cours, tu dois savoir que le wronskien vérifie toujours une équation linéaire qui est dans notre cas : .
Si tu l'as résout correctement, tu vas t'apercevoir que les solutions de cette équa diff sont les fonctions définies sur par .

Comme on ne cherche qu'une base des solutions, autant choisir les vecteurs de notre base le plus simplement possible. On choisit alors . Et tu remarques que les autres solutions s'en déduisent. Donc il n'y a pas de soucis.
Ensuite on peut aussi se permettre de choisir dans l'écriture du wronskien, ca ne changera rien, mis à part qu'on obtiendra ( tu peux le remarquer par définition du wronskien = det(...) et multilinéarité du det ).

A present, tu as donc tu peux en déduire et donc une base des solutions de l'équa diff sur I.

_{Sauf erreur...}

Merci beaucoup pour ces grands éclaircissement, je t'en suis très reconnaissante.

De rien
(Et n'hesite pas s'il y a quelque de pas clair)

Non, toutes tes explications sont très claires. Par contre je t'aurais bien demandé de regarder si ca ne te dérange pas bien sûr si cette équa diff est juste. C'est juste un exercice pour voir si j'ai bien tout assimilé.
On me demande de résoudre l'équa diff suivante: x²''(x)-3'(x)+4(x)=0,

Je dois chercher dans un premier temps une solution du type x x

En le faisant je trouve =2
d'où 1(x)=x²

Puis on me demande d'écrire l'équa diff vérifiée par le Wronskien est de la résoudre pour W(1)=1:

J'ai W'(x)-3/x²*W(x)=0
Quand je résouds cette équation je trouve: W(x)=exp(-3/x)

Ensuite je dois trouver une deuxième solution:
Je trouve ₂(x)=-x²/3*exp(-3/X)

J'en déduis donc que la forme générale de la solution de cette équation est:
(x)=Ax²-Bx²/3*exp(-3/X)

Je voulais savoir s'il y avait des erreurs, si tu n'as pas le temps de le faire, ce n'est pas grave du tout. Merci en totu cas pour tout ce que tu as déjà fait pour moi.

Tout d'abord, je signale juste qu'on ne peut pas résoudre, de prima bord, une telle équation sur d'une traite.
On doit se poser sur les intervalles .

Supposons qu'on travaille sur .
- Le wronskien vérifie bien ton équation mais par contre w(x)=exp(-3/x) n'est pas la solution qui passe par 1 en 1.
- Je ne suis pas d'accord avec ta solution . Elle ne vérifie pas l'équa diff du départ. Si tu veux, donne moi l'équation différentielle qu'on doit trouver grace au wronskien et à et que doit vérifier. (Une fois le wronskien corrigé )

En ce qui concerne la solution du Wronskien, je trouve W(x)=C*exp(-3/x)et en mettant la condition initiale W(1)=1 je trouve que C=exp(3)
Ce qui me donnerait un Wronskien égal à W(x)=exp(3(1-1/x)), le problème c'est que je suis incapable de dériver cette solution afin de vérifier si ca marche.

C'est bien la bonne et unique solution
Quant à bien dériver W(x)=exp(3(1-1/x)) il s'agit juste de la dérivée d'une composée de fonction.
Ca donnerait :
donc tout va bien.

Voilà, maintenant que j'ai mon Wronslien, j'ai une autre équation à résoudre qui est

₂'-₁'/₁*₂=1/x²*exp(3(1-1/x))
En posant ₂=C(x)₁(x)
J'en déduis que C'(x)=exp(3(1-1/x)/x⁴

Pour trouver C(x), je tente une intégration par partie, sauf que je m'en sors pas.

Ok pour l'équation que doit vérifier :


Pour trouver une primitive de , tu peux la chercher sous la forme

Oula, alors là, ca me dépasse ce que tu me demande. J'arrive à quelque chose comme a=0, b=0 et c=x^-2, mais je doute que ce soit ça.

Je viens de voir que j'ai écrit une petite erreur dans mon dernier message. Par contre ca ne change en rien l'indication que je t'ai donnée pour la primitive.
Je corrige donc :

Citation :
Ok pour l'équation que \psi_2 doit vérifier :


Pour trouver une primitive de , tu peux la chercher sous la forme

Normalement, quand tu dérives f, tu obtiens avec P un polynome.
Le plus simple pour qu'on vérifie est que tu me donnes le polynome P que tu trouves.

En ce qui concerne le polynome je trouve P=1/x², mais ca me parait bizarre comme résultat en fait.

Oui, ca l'est !
En plus P=1/x^2, c'est pas un polynome.

Le probleme vient juste de la dérivation si je comprends bien.
Cacule dans un coin la dérivée de et dans un autre coin celle de et utilise la formule de dérivation d'un produit.

Si jamais tu as du mal, je poseterai la solution.

Si je dérive f(x), j'obtiens f'(x)=(-2x+3)(exp3(1-1/x))/x⁴, ca signifie que mon polynôme est  -2x+3 ?

Oui ca voudrait dire ca. Par contre, comment se fait-il que n'ait plus de coefficient a,b,c ?

Beh en fait j'ai fait une identification avec a=0, b=-2 et c=3.

Dans ce cas, il y encore une erreur.
Le polynome que je trouve est le suivant : .

Si jamais tu ne vois pas ton erreur, poste tes calculs...

J'ai fait comme tu m'as dit,

j'ai la dérivée du polynôme ax²+bx+c qui donne 2ax+b;

après j'ai la dérivée de f(x) qui est f'(x)=(-2x+3)(exp3(1-1/x))/x⁴.

Et là je suis complétement perdue.

Pas de soucis, on s'est peut-etre mal compris.
On cherche une primitive de .
Pour se faire, on peut la rechercher à l'aide de coefficients indéterminés sous la forme

Alors on y va, on dérive et on identifie :

D'accord, j'y étais pas du tout. Sauf que je suis encore perdue, je sais plus ce qu'il faut faire. Je dois primitiver [(3a-b)x²+(2b-2c)x+3c]exp(3(1-1/))/x⁴ ?

C'est exactement ce que j'ai rappelé dans mon message précèdent.

On souhaite résoudre une equation différentielle linéaire du 2n ordre. On sait que l'espace des solutions est de dimension 2, donc il suffit de trouver 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes.

Nous, nous connaissons une solution particuliere de notre équation différentielle et on aimerait en déduire une deuxieme linéairement indépendante.
Pour se faire, on utilise le wronskien.

¤ Tu as montré que ,
¤ Mais on a toujours puisque le Wronskien de notre equation diff n'est autre qu'un determiniant d'une matrice 2x2.

Finalement, si est une solution de notre equation différentielle, on en déduit qu'elle vérifie la nouvelle équation différentielle : .
On sait bien résoudre ces équations, on commence par l'équation homogène qui lui est associée puis on cherche une solution particulière par la méthode de la variation de la constante lorsque celle ci n'est pas évidente.

Les solutions de l'équ homogene de (1) sont les fonctions . On cherche à présent une solution particuliere de (1) . Pour ca, variation de la constante.
On pose une telle solution, alors immédiatement C(x) vérifie .
Il reste alors plus qu'à déterminer une primitive de C' pour obtenir et enfin les solutions de l'équation diff d'origine.
Comme je te l'ai dit, on peut chercher sans gêne une primitve de C' sous la forme .
Aussi, on dérive f et on identifie
Ceci nous un candidat pour C(x) puis une solution particuliere de (1).
Nous, on est la

Donc en fait on a trouvé que a=3a-b; b=2b-2c et c=3c du coup ca nous donne f(x)=C(x)= [(3a-b)x²+(2b-2c)x+3c]exp(3(1-1/))/x⁴ ?

Non !
On veut que f'(x) soit égale à C'(x), c'est à dire que
Apres simplification, on trouve une condition suffisante qui est . C'est une égalité de polynome, donc on peut identifier les termes par puissance comme tu sais le faire.
Ainsi on a obtient a=..., b=..., et c=....

Grâce à ca, on a trouvé une fonction dérivable dont la dérivée est exactement C'(x).
En relisant mon dernier message, tu vas voir qu'on a ainsi determiné "toutes" les solutions.

Là je dois t'avouer que je ne comprends plus rien à rien. On identifie a=...; b=..., c=... dans le polynôme f(x)?
Excuse moi si ca t'énerves le fait que je comprend pas, mais les maths est moi ca fait 2.

Non y a pas de mal.
En fait f(x) n'est pas un polynome. Un polynome c'est une fonction du genre .
Je vais détailler ce que j'entends pas "identifier".

Si on a deux polynomes , ils sont égaux si et seulement si .
J'imagine que tu as déjà vu ca dans tes cours.

Dans notre cas, on a les polynomes . On a vu que f'(x)=C'(x) impliquait l'égalité de ces 2 polynomes et reciproquement bien sur. Ainsi, avec ce que je viens de dire,
f'(x)=C'(x) <=> P(x)=Q(x) <=> Tous les coefficients de meme degré sont égaux <=> .
Il s'agit d'un petit système à 3 équations et 3 inconnues qui se résout très bien.

Si tu trouves les solutions du système d'équation que je viens d'écrire, tu auras trouver les "bons coefficients" qui, une fois remplacés dans l'écriture de f(x), feront que f est une primitive de C'(x)=exp(3(1-1/x)).

Est ce plus clair ?

D'accord, donc f(x)=(1/9*x²+1/3*x+1/3)exp(3(1-1/X))/x²=C(x)

Et du coup ₂(x)=(1/9*x²+1/3*x+1/3)exp(3(1-1/X)) ?

Aie aie aie...
Tu n'as pas vérifié mes calculs ?

A force, de tout reprendre et réécrire, j'ai écrit une betise dans mon calcul de la dérivée de f.
J'espere que ca ne va pas te décourager, surtout qu'on a fini le probleme

En fait, si alors sa dérivée est . J'ai tout simplement mal recopier le terme devant 'x'.
Bien sur, ca ne change fondamentalement rien. Il faut juste refaire un calcul.

Finalement, si tu corriges cette erreur de 3 qui s'était caché sous un 2,
f(x) est une primitive de C'(x) si et seulement les deux polynomes sont égaux, si et seulement si .
Les solutions vont changées un peu.

Excuse moi pour cette petite maladresse

Finalement, si tu corriges cette erreur de 3 qui s'était caché sous un 2,
f(x) est une primitive de C'(x) si et seulement les deux polynomes sont égaux, si et seulement si .
Les solutions vont changées un peu.

Excuse moi pour cette petite maladresse

D'accord, pas de problème, tu peux faire des erreurs, vu toutes les erreurs que tu m'as corrigé.  
Du coup le polynôme devient: f(x)=(2/27*x²+2/9*x+1/9)exp(3(1-1/X))/x²=C(x)
Et du coup ₂=(2/27*x²+2/9*x+1/9)exp(3(1-1/X))

Mais le pire c'est que j'avais bien écrit ca sur mon brouillon. Seulement comme je l'ai sur-sur-griffonné et fais d'autre truc à coté ...
Du coup, je vois l'erreur que quand tu me donnes ton résultat : )
(D'ailleurs je viens de voir que dans mon message de 17:37, je me suis permis de confondre K(x) et C(x) )

Bref, C'est presque ca !
Ok pour 2/27,
Ok pour 2/9,
Pas ok pour 1/9.

(J'ai quand même une question qui m'intrigue : tu es sur de bien traiter l'équation différentielle ? )

(J'ai quand même une question qui m'intrigue : tu es sur de bien traiter l'équation différentielle ? )

Oula c'est c=1/3 pardon. Je me suis trompé en recopiant.

Hé hé, on est quitte et c'est ok pour ta solution.

Et quant à ma question ? Parce que je viens de reprendre ton premier message et en fait il n'y a aucune solution du type x.

J'pensais que la solution c'était
(x)=A₁+B₂ et comme ₁=x², ca fait une solution en x

Oui mais à bien y regarder, n'est pas une solution et il n'y en a meme aucun de ce type :
Soit et donc pour tout x.

L'indication de ton énoncé est soit faux, soit il y a une erreur de frappe quelque part.

En fait, l'équation qu'on vient de résoudre n'est pas , mais

J'avoue que c'est assez drole

Ah en effet, j'viens de reregarder le sujet d'annales et en fait j'ai oublier un x derrière le 3. C'est peut etre pour ca qu'on trouvait des choses aussi complexes car en théorie ils essayent de nous faire des trucs où y'a des simplifications. Je susi vraiment désolée.

Ah ah
Bon, alors dis toi que tu viens de résoudre :
Et pour finir sur cette équation différentielle : on vient de montrer que ces solutions formelles sont les fonctions
(Grâce aux constantes j'ai rendu les solutions un peu plus élégante )

Si tu veux, tu peux créer un autre topic avec la "vrai" équation différentielle à résoudre et poster ta solution en suivant ce qu'on vient de faire ici. Ça ne me dérange pas d'y jeter un coup d'œil plus tard.

En tout cas je tenais à te remercier énormément pour toutes les explications que tu m'as donné, il fallait de la patience, et t'en as eu beaucoup. Merci infinniment, j'te remercie d'avance pour les points que j'aurais sur l'exercice avec le Wronskien.

Oula, y a pas de mal. Aux vues des petites erreurs de recopiage, ou à vouloir aller trop vite et oublié 1 ou 2 mots etc ... ca vaut pas tant.

Normalement, si tu reprends la méthode qu'on vient de suivre, et que tu l'as comprise, tu verras il n'y aura pas de probleme aux exams.

(Comme je ne sais pas si tu veux poster ta vraie équation différentielle, je te donne les 2 solutions linéairement indépendantes sur lesquelles tu dois arriver en suivant ce qu'on a fait :
¤ , que tu avais trouvée, et
¤
)

Sur ce, je te souhaite bonne nuit

En fait en revoyant mon brouillon, j'avaisconsidéré la bonne équation dès le début, avec le x derrière le 3, donc c'est à cause de cet oubli que tu trouvais que mes calculs étaient faux.

Je te conseille de reprendre tout ca soigneusement à tête reposer. En tout cas, je suis désolé de ce petit quiproquo.

C'est bon, j'ai trouvé la solution que tu m'as indiqué. Encore merci.