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Niveau maths spé
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exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre

Posté par
fatfab64
07-06-12 à 18:27

Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice d'analyse que je ne vois pas comment faire. Il s'agit de trouver
un équivalent quand a tend vers + de la fonction:

f(a) = $\int_0^\infty 1/(1+x^2)^a \, \mathrm dx$

Posté par
otto
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 07-06-12 à 20:55

Bonjour,
je n'ai pas essayé, mais as-tu pensé à faire un encadrement?
As-tu une idée de la réponse?

Posté par
kzl
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 07-06-12 à 21:14

C'est dans quoi a ?

Posté par
fatfab64
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 07-06-12 à 22:01

a c'est pas précisé mais bon c'est strictement positif sinon ça converge pas. Mais de toute on cherche l'équivalent en +infini donc ça a pas tellement d'importance.
Oui otto j'ai essayé pas mal de méthode mais ça marche pas. Sur internet je n'ai que trouvé une méthode utilisant la méthode dite de Laplace mais je n'ai pas compris. En fait le résultat c'est
\sqrt{\pi}/(2\sqrt{a}) mais je sais pas comment le montrer

Posté par
Glapion Moderateur
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 08-06-12 à 00:41

Bonsoir, en fait exercice équivalent intégrale dépendant d\'un paramètre avec la fonction qui faut (n)=n! pour les valeurs entières.
Effectivement le développement pour a tendant vers l'infini vaut exercice équivalent intégrale dépendant d\'un paramètre ...
Donc effectivement tu as raison. Mais pour démontrer tout ça, c'est une autre paire de manche

Posté par
LeDino
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 08-06-12 à 01:04

Juste un détail :

Si (a)/(a-1/2) admet une limite pour a ...
C'est forcément a

En effet, soit cette limite.
= limite (a+1/2)/(a)
= limite (a)/(a-1/2)
Donc ² = limite (a+1/2)/(a-1/2)
... qui vaut a par définition.

Ca permet au moins de confirmer le résultat annoncé, à partir de l'intégration trouvée par Glapion...

Posté par
fatfab64
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 08-06-12 à 14:24

Merci pour vos réponses mais pouvez-vous m'indiquer une démonstration niveau spé?

Posté par
kzl
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 08-06-12 à 21:57

Citation :
a c'est pas précisé mais bon c'est strictement positif sinon ça converge pas. Mais de toute on cherche l'équivalent en +infini donc ça a pas tellement d'importance.
Oui otto j'ai essayé pas mal de méthode mais ça marche pas. Sur internet je n'ai que trouvé une méthode utilisant la méthode dite de Laplace mais je n'ai pas compris. En fait le résultat c'est
\sqrt{\pi}/(2\sqrt{a}) mais je sais pas comment le montrer


Je posais cette question, car faut vérifier malgré tout que cette intégrale est existe.
Je suis pas convaincu que a > 0 suffise, car pour a = 1/2, on a la dérivée du sinus hyperbolique qui apparaît, qui il me semble diverge

Posté par
kzl
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 08-06-12 à 22:04

Mais bon après je suis d'accord que pour a suffisamment je chipote à fond :p

Posté par
perroquet
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 09-06-12 à 00:09

Bonjour.

Voici une idée pour obtenir le résultat.

On calcule explicitement f(2n) avec n entier: en posant le changement de variable   x= tan(u), on tombe sur une intégrale de Wallis, dont le calcul est classique. On obtient ensuite un équivalent de cette intégrale à l'aide de la formule de Stirling.

Pour obtenir un équivalent de f(a), il suffit ensuite d'encadrer f(a) entre f(2p) et f(2p+2) (avec p entier à préciser). Et, comme f(2p) et f(2p+2) sont équivalents, on pourra conclure.

Posté par
fatfab64
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 11-06-12 à 13:31

merci beaucoup perroquet j'ai appliqué ta méthode et ça marche bien

Posté par
fatfab64
re : exercice équivalent intégrale dépendant d'un paramètre 11-06-12 à 13:48

Et pour répondre à kzl oui c'est intégrable ssi a>1/2 donc je me suis trompé en disant a>0



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