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Exercice examen 2

Posté par
marlo 25-04-17 à 11:58

Bonjour j'ai une deuxieme probleme sur un exercice :

Soit X_1 , .... , X_n n variable s aleatoires independantes, avec E(X_i)=u et Var(X_i)=\sigma ^2 \forall i \in [1, ..., n], Pour c_1 ,... c_n \in on a :

Z=\sum_{i=1}^{n}{c_i X_i}

Determiner Var(Z),


Alors la je bloque, j'ai fait :
Var(Z)=Var(\sum_{i=1}^{n}{c_i X_i})
Var(Z)=\sum_{i=1}^{n}Var({c_i X_i})
Et la du coup je sais pas comment faire avec le Var({c_i X_i})

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Exercices examen 25-04-17 à 14:11

***lafol > on ne le dira jamais assez : Exercices examen

Posté par
lafol Moderateurre : Exercices examen 25-04-17 à 14:12

bonjour
V(aX) = E((aX)²) - (E(aX))² = ...

Posté par
marlore : Exercice examen 2 25-04-17 à 14:44

Bah a vrai dire j'y avais pensé, mais je pensais que on ne pouvais pas traiter c_i comme une constante.

Car si on peut dire cela alors on a bien
Var({c_i X_i})= E((c_i X_i)^2)- E(c_i X_i)^2
Var({c_i X_i})= c_i^2E( X_i^2)- c_i^2E( X_i)^2
Var({c_i X_i})= c_i^2(E( X_i^2)- E( X_i)^2)
Var({c_i X_i})= c_i^2(E( X_i^2)- u^2)

j'ai l'impression que je ne fait pas ce qu'il faut, non?

Posté par
marlore : Exercice examen 2 25-04-17 à 17:37

Posté par
verdurinre : Exercice examen 2 25-04-17 à 18:12

C'est bien l'idée.
Ici tu redémontres

Citation :
Théorème :
Si X est une variable aléatoire réelle ayant une variance et c un réel
alors Var(c.X)=c2.Var(X)

Il te reste à factoriser 2.

Posté par
lafol Moderateurre : Exercice examen 2 25-04-17 à 18:14

=c_i^2V(x_i), non ? Ce n'est pas dans ton cours ?

Posté par
marlore : Exercice examen 2 25-04-17 à 18:25

Si, si, mais depuis le debut je considerais c comme une variable aleatoire, mais en fait je peut le sortir.

mais par contre j'ai une question pour :

Var(Z)=\sum_{i=1}^{n}{c_i^2 Var( X_i}) quand je sors \sum_{i=1}^{n} du Var il ne faut pas que je change l'indice i par un autre indice?
Je ne comprend pas bien comment ça marche, pourquoi doit-on changé l'indice de la somme, et quand le change-t-on?

Posté par
verdurinre : Exercice examen 2 25-04-17 à 18:34


\text{Var}(Z)=\sum_{i=1}^{n}{c_i^2 \text{Var}( X_i) }=\sum_{i=1}^{n}{c_i^2 \sigma^2}=\sum_{k=1}^{n}{c_k^2 \sigma^2}
Mais le i (et le k dans mon exemple ) sont des variables muettes : on ne les voit pas en dehors du .
On peut-être conduit à les changer si elles désignent quelque chose en dehors, mais ici je ne voit vraiment pas de problème.

Posté par
marlore : Exercice examen 2 25-04-17 à 18:47

je vais donner un example que j'ai dans un exercice:

on devait trouver Cov(\epsilon_i, \overline{\epsilon}) sachant que  Var(\epilon_i,)= \sigma^2 et que \overline{\epsilon} et la moyenne

alors on fait :
Cov(\epsilon_i, \overline{\epsilon})=Cov(\epsilon_i, \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n}{{\epsilon_i})
Cov(\epsilon_i, \overline{\epsilon})=\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n}Cov(\epsilon_i, {{\epsilon_j})  la je comprend pourquoi on change, on ne veut pas que le premier \epsilon_i, soit comprit dans la somme. Mais ensuite :

Cov(\epsilon_i, \overline{\epsilon})=\frac{1}{n}Cov(\epsilon_i, {{\epsilon_i}) la je vois pas pourquoi la somme disparait et que on change le \epsilon_j} en \epsilon_i

Posté par
lionel52re : Exercice examen 2 25-04-17 à 18:51

C'est simple l'expression suivante est pas très claire

Cov(\epsilon_i, \overline{\epsilon})=Cov(\epsilon_i, \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n}{{\epsilon_i})

Il vaut mieux préférer dès le départ

Cov(\epsilon_i, \overline{\epsilon})=Cov(\epsilon_i, \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n}{{\epsilon_j})

Posté par
lionel52re : Exercice examen 2 25-04-17 à 18:53

Après pour la 2e partie, les epsilon_i sont indép entre eux donc la covariance de epsilon_i et epsilon_j vaut 0 si i est différent de j

Posté par
marlore : Exercice examen 2 25-04-17 à 19:04

Ok d'accord merci beaucoup,

Apres il y a une autre question que je ne trouve pas tres claire:

Quelle est la condition sur les c_i pour que Z soit un estimateur non biaisé de u avec E(X_i)=u

alors j'ai fais ça mais je ne suis pas sure:
E(Z)=u\sum_{i=1}^{n}{c_i}
on sait que E(\widehat{u}=u c'est un lemme
on a donc Biais(\widehat{u})=E(Z) - u
Biais(\widehat{u})=u\sum_{i=1}^{n}{c_i} - u

il faut donc que \sum_{i=1}^{n}{c_i} = 1

Afin que  Biais(\widehat{u})=0

Posté par
marlore : Exercice examen 2 25-04-17 à 22:17

Posté par
verdurinre : Exercice examen 2 25-04-17 à 22:31

As tu un doute sur ton raisonnement ?

Posté par
marlore : Exercice examen 2 25-04-17 à 22:32

Oui clairement, déjà au niveau de la notation je ne me trouve pas claire du tout a vrai dire.

Posté par
verdurinre : Exercice examen 2 25-04-17 à 22:53

Au niveau des notations, c'est en effet olé olé.

Mais la condition \sum_{i=1}^{n}{c_i} = 1 semble presque évidente.
Et ta démonstration, après quelque corrections sur les notations, juste.


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