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Exercice exotique: 4 pas plus !
Si ça vous dit, pour la pose café:
On ne peut pas trouver 5 réels différents tels que,
si et
désignent deux quelconques de ces réels,
avec , alors:
(Indication: peut se faire sans calcul)
Pardon, il fallait lire:
Si il existe 5 réels différents tels que,
si et
et désignent deux quelconques de ces réels, avec
, alors nécessairement on a :
Bonjour Lafol,
La tangente, c'était très bien.
Bon, je me suis encore planté: il faut lire:
Soient 5 réels différents.
Alors nécessairement on a, pour deux d'entre eux, notés x et y :
Bonjour Raymond,
On peut montrer que c'est à partir de 5 réels que cet
encadrement devient inévitable (pour 2 d'entre eux).
Surprenant, non ?
Comme disait lafol, on pose x=tan(a) et y=tan(b).
L'inegalite devient :
0 < tan(a-b) < tan(Pi/4)=1
soit encore: 0 < a-b < Pi/4
Or, a et b sont dans ]-Pi/2,Pi/2[, intervalle ouvert de longueur Pi.
On ne peut donc pas placer 5 points à l'interieur sans qu'il
y en ait au moins deux (notés a et b) qui verifient cet encadrement.
On peut mettre au lieu du 1: ca fait 6 poins au plus,
: ca fait 12 points au plus.
etc...
Bonsoir,
Les 5 réels s'expriment comme les tangentes de 5 angles que l'on peut supposer compris entre -pi/2 et pi/2.
Coupons cet intervalle en 4 : ]-pi/2, -pi/4], ]-pi/4,0], ]0,pi/4] et ]pi/4,pi/2[.
Au moins deux de ces angles, a et b, sont dans le même intervalle, donc leur différence est strictement inférieure à pi/4.
Donc 0 < tg(a-b) < 1, ce qui s'écrit, comme l'a rappelé lafol,
.
ou encore, puisque x = tg(a) et y = tg(b)
.
Cordialement
Frenicle
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