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Niveau Maths sup
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Exercice Focalisé du les DL

Posté par
KrnT
06-02-21 à 19:32

Bonjour/Bonsoir,
Je voudrais demander un avis sur la méthode de résolution d'une question :
Enoncé :
1. Montrer que l'equation tanx=x a une unique solution xn dans l'intervalle ]-pi/2 +npi, pi/2+npi[
2. Montrer xn ~ npi puis que xn-npi-pi/2 ~ -1/(npi)

Résolution
Pour la première question ça a été facile à démontrer en dérivant et montrant que  h(x)=tanx-x est stri croissante ( Je suis plutot intéressé par la 2 eme question)
2. Après avoir montrer avec un petit encadrement suivis d'une limite ... j'ai montré que xn ~ npi au vois de +l'infini.
C'est là où ça commence à se corser pour moi j'ai procédé ainsi :
tan(x_{n}-n\pi -\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{tan(n\pi-x_{n}) } =-\frac{1}{x_{n}}
d'où tan(x_{n}-n\pi -\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{x_{n}}
et on a 1/xn appartient à R et arctan impaire
x_{n}-n\pi -\frac{\pi}{2}=-arctan(\frac{1}{x_{n}})
Arctan(X) =_{0} X+o(X)
Arctan(\frac{1}{x_{n}}) =_{+\propto } \frac{1}{x_{n}}+o(\frac{1}{x_{n}})
x_{n}-n\pi -\frac{\pi}{2}=_{+\propto }-\frac{1}{x_{n}}+o(\frac{1}{x_{n}})
et on a xn ~ npi en +l'infinie
d'où x_{n}-n\pi -\frac{\pi}{2}\sim -\frac{1}{n\pi}
Est-ce que cette réponse est juste ? Merci d'avance



Posté par
KrnT
re : Exercice Focalisé du les DL 07-02-21 à 16:58

Une petite aide s'il vous plaît ?

Posté par
larrech
re : Exercice Focalisé du les DL 07-02-21 à 19:10

Bonsoir,

Je ne présenterais pas les choses comme ça. D'abord, je poserais

x_n=n \pi+\pi/2+a_n avec \lim_{n\to+\infty}a_n=0        puis  

tan(x_n)=tan(n \pi+\pi/2+a_n)=x_n=n \pi+\pi/2+a_n=-\dfrac{1}{tan(n\pi+a_n)}=   -\dfrac{1}{tan(a_n)}    

dont on déduit \lim_{n\to +\infty}- n\pi tan(a_n) en multipliant par -tan(a_n)      et comme tan(a_n)\sim a_n ...
                                

Posté par
Ulmiere
re : Exercice Focalisé du les DL 07-02-21 à 19:21

Et pour montrer que la limite de x_n-n\pi est \pi/2, écrire que x_n-n\pi\in]-\pi/2,\pi/2[ \implies \arctan(\tan(x_n-n\pi)) = x_n-n\pi.
Le membre de gauche est aussi égal, par pi-périodicité à \arctan(\tan(x_n)) = \arctan(x_n) qui tend vers \pi/2 parce que x_n\to\infty

Posté par
KrnT
re : Exercice Focalisé du les DL 07-02-21 à 19:43

Merci infiniment à vous deux ! larrech Ulmiere, je viens de noter votre methode ! Est-ce que la mienne est totalement fausse ?

Posté par
larrech
re : Exercice Focalisé du les DL 07-02-21 à 20:57

Je n'ai pas dit que ta méthode était fausse, celle que j'ai proposée me semble plus naturelle, c'est tout.



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