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Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 21:38

Enfonce le couteau encore plus loin
Pour la limite en 0 ce que j'ai fais au dessus est correct ? :

\lim_{x\to 0^{+}}e^{1/x}\sqrt{x(x+2)

u = \sqrt{x}

\lim_{u\to 0^{+}}e^{1/u²}u\sqrt{u²+2}
\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{u²+2} = \sqrt{2}

On étudie donc :

\lim_{x\to 0^{+}}ue^{1/u²}

X = \dfrac{1}{u^2},  u = \dfrac{1}{\sqrt{X}}

\lim_{X\to +\infty}\dfrac{e^X}{\sqrt{X}} = +\infty

On a donc :

\lim_{x\to 0^{+}}e^{1/x}\sqrt{x(x+2))}= +\infty

C'est correct ?

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 22:01

Aux bornes de son ensemble de def on a :
\lim_{x\to -2}e^{1/x}\sqrt{x(x+2)} = 0
\lim_{x\to -\infty}e^{1/x}\sqrt{x(x+2)}=+\infty
\lim_{x\to +\infty}e^{1/x}\sqrt{x(x+2)}=+\infty

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 22:03

Malou il m'en faut peux en tournure de phrase pour me retourner le cerveau, crois moi mdr

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 22:15

La dérivée :
f(x) = e^{1/x}\sqrt{x²+2x}

f'(x) = \dfrac{-e^{1/x}\sqrt{x(x+2)}}{x²}+\dfrac{e^{1/x}*(2x+2)}{2\sqrt{x(x+2)}}

f'(x) = e^{1/x}(\dfrac{x+1}{\sqrt{x(x+2)}}-\dfrac{\sqrt{x(x+2)}}{x² })

f'(x) = e^{1/x}(\dfrac{x²-1}{x\sqrt{x(x+2)}})

J'étudierai le signe de la dérivée et l'ensemble de derivabilité demain

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 22-02-20 à 11:40

Ensemble de dérivation :

f'(x) existe si \begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0\end{cases}

x(x+2) \ge 0 , \forall{x}\in ]-\infty;-2]U[0;+infty[, car coefficient ax² , a > 0

f' est défini \forall{x}\in]-\infty;-2]U]0;+\infty[

Signe dérivée :

f'(x) = e^{1/x}(\dfrac{x²-1}{x\sqrt{x(x+2)}})

e^{1/x} > 0 , \forall{x}\in\R^{*}
\sqrt{x(x+2)} \ge 0, \forall{x}\in]-\infty;-2]U[0;+\infty[.

Il faut donc étudier seulement :

\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}

On obtient donc :

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & -2 & ]U] & 0 & 1 & +\infty & \\ {\frac{d}{dx}f} & & - & & || & - & 0 & + & \\ {f} & & \searrow & & || & \searrow & & \nearrow & \end{array}

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 22-02-20 à 11:47

Il aurait fallu que je place les bornes de limite en infini ect... dans mon tableau, mais bon pas grave.

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 22-02-20 à 11:55

La tangente ou (demi, j'ai pas trop compris pourquoi demi-tangente dans l'exercice mais...), :

Tangente en -2

T : y = f'(-2)(x+2)+f(-2)

f(-2) = 0

Calculons la limite en -2 de la dérivée :

\lim_{x\to -2}e^{1/x}(\dfrac{x²-1}{x\sqrt{x(x+2)}}) = +\infty

f n'est pas dérivable en -2. j'aurais du le mettre au début j'ai pas fait gaffe ducoup c'est :

f'(x) existe si \begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0 \\ x \ne -2\end{cases}

Ducoup l'ensemble de derivabilité est :
]-\infty;-2[U]0;+\infty[

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 22-02-20 à 12:37

La demi tange serait :

x = -2 ?

Convexité, concavité :

u = \dfrac{x²-1}{x\sqrt{x²+2x}}
u' = \dfrac{2x²\sqrt{x(x+2)}-(x²-1)\dfrac{2x²+3x}{\sqrt{x(x+2)}}}{(x\sqrt{x(x+2)})²}

u' = \dfrac{x(x²+2x+3)}{(x\sqrt{x(x+2)})² \sqrt{x(x+2)}}

v = e^{1/x}
v' = -\dfrac{e^{1/x}}{x²}

f''(x) = -\dfrac{e^{1/x}}{x²} \dfrac{x²-1}{x\sqrt{x²+2x}}+e^{1/x} \dfrac{x(x²+2x+3)}{(x\sqrt{x(x+2)})² \sqrt{x(x+2)}}

C'est lourd !

f'' = e^{1/x}\left(\dfrac{(1-x²)(x²+2x)}{x^3(\sqrt{x(x+2)})^{3/2}}+\dfrac{x²(x²+2x+3)}{x^3(\sqrt{x(x+2)})^{3/2}}\right)

Je vais la détruire cette dérivée seconde...

f'' = e^{1/x}\left(\dfrac{x²+2x-x^4-2x^3+x^4+2x^3+3x²}{x^3(\sqrt{x(x+2)})^{3/2}}\right)

f'' = e^{1/x}\left(\dfrac{4x+2}{x^2(\sqrt{x(x+2)})^{3/2}}\right)

Elle fait pas si peur que ça cette dérivée seconde .

On étudie donc seulement le signe de :

4x+2

\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & -2& ]U[ & 0 & & +\infty & \\ {(\frac{d}{dx})²f} & & - & 0 & + & & \\ {_{convexité}f} & & concave & & convexe & & \end{array}

Je pris pour pas avoir fais d'erreur !

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 22-02-20 à 12:43

Petite erreur dans mon tableau c'est :
-2[U]0 au lieu de -2]U[0

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 22-02-20 à 13:17

es-tu sur de la dérivée à 22h15

ne serait-ce pas x^2 - 2 au numérateur ?

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 22-02-20 à 13:36

Ah oui ! j'avais pas vue c'est triste.


f'(x) = e^{1/x}(\dfrac{x²-1}{x\sqrt{x(x+2)}})

Tableau signe, variation :

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & -2 & ]U] & 0 & \sqrt{2} & +\infty & \\ {\frac{d}{dx}f} & & - & & || & - & 0 & + & \\ {f} & & \searrow & & || & \searrow & & \nearrow & \end{array}

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 22-02-20 à 13:48

et tu refais la même erreur dans la dérivée !!!

d'autre part je laisserai x^2 au dénominateur pour étudier le signe de x^3 - 2x = ... à factoriser proprement et sachant que 0 est une valeur interdite ...

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 22-02-20 à 14:05

Je suis vraiment pas doué mdr :

f'(x) = e^{1/x}(\dfrac{x²-2}{x\sqrt{x(x+2)}})

Tableau signe, variation :

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & -2 & [U] & 0 & \sqrt{2} & +\infty & \\ {\frac{d}{dx}f} & & - & & || & - & 0 & + & \\ {f} & & \searrow & & || & \searrow & & \nearrow & \end{array}

J'avoue là je suis pas très chaud pour refaire la dérivée seconde.... si tu vois ce que je veux dire

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 22-02-20 à 14:07

Je préfère laisser comme ça pour le numérateur et dénominateur. Mais voilà on a compris.

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 22-02-20 à 17:47

attention : on étudie la dérivabilité avant de calculer une dérivée...ou tout au moins on dit où c'est dérivable sans problèmes puis on donne la dérivée
ici l'ensemble de dérivabilité annoncé à 11h40 est faux

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 22-02-20 à 18:17

Ok donc a chaque dérivée on étudie l'ensemble de dérivation de la même manière que l'ensemble de definition pareil pour la derive seconde ?

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 11:09

Oui j'avais corrigé après 11 h 55 :

f'(x) existe si \begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0 \\ x \ne -2\end{cases}

Ducoup l'ensemble de derivabilité est :
]-\infty;-2[U]0;+\infty[

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 23-02-20 à 11:56

ça ça doit venir avant tout calcul de dérivée....

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 12:22

Je retente la dérivée seconde

Convexité, concavité :

u = \dfrac{x²-2}{x\sqrt{x²+2x}}
u' = \dfrac{2x²\sqrt{x(x+2)}-(x²-2)\dfrac{2x²+3x}{\sqrt{x(x+2)}}}{(x\sqrt{x(x+2)})²}

u' = \dfrac{2x^3(x+2)-(x²-2)(2x²+3x)}{(x\sqrt{x(x+2)})² \sqrt{x(x+2)}}

u' = \dfrac{2x^4+4x^3-(2x^4+3x^3-4x²-6x)}{(x\sqrt{x(x+2)})² \sqrt{x(x+2)}}

u' = \dfrac{x^3+4x²+6x}{(x\sqrt{x(x+2)})² \sqrt{x(x+2)}}

u' = \dfrac{x(x^2+4x+6)}{(x\sqrt{x(x+2)})² \sqrt{x(x+2)}}

v = e^{1/x}
v' = -\dfrac{e^{1/x}}{x²}

f''(x) = -e^{1/x}*\left(\dfrac{x²-2}{x^3*\sqrt{x(x+2)}}\right)+e^{1/x}\left(u' = \dfrac{x(x^2+4x+6)}{(x\sqrt{x(x+2)})² \sqrt{x(x+2)}}\right)

f''(x) = e^{1/x}\left(\dfrac{x² (x^2+4x+6)}{x^3(\sqrt{x(x+2)})^{5/2}}}-\dfrac{x^4+2x^3-2x²-4x}{x^3(\sqrt{x(x+2)})^{5/2}}\right)

f''(x) = e^{1/x}\left(\dfrac{2x^2 +8x+4}{x^2(\sqrt{x(x+2)})^{5/2}}\right)

f''(x) existe si \begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0 \\ x \ne -2\end{cases}

f'' est défini, \forall{x}\in]-\infty;-2<u>0;+\infty[

[u]Signe dérivée seconde :

Le dénominateur est toujours positif.
Ainsi que e^{1/x}.

Étudions donc le signe de :

2x²+8x+4 \ge 0

\Delta = 32

x_1 = -\sqrt{2}-2 \approx -3.41...
x_2 = \sqrt{2}-2 \approx -0.58..

Le coefficient ax², a > 0,
Par conséquent :

[b][u]Tableau convexité :

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & -\sqrt{2}-2 & -2[U] 0 & & +\infty & \\ {(\frac{d}{dx})²f} & & + & 0 & - & + & & & \\ {_{convexité}f} & & _{convexe} & & _{concave}& & _{convexe} & & \end{array}

J'ai eu du mal à faire le tableau ça deconnait mais normalement on voit bien.
J'espère ne pas avoir fait d'erreur.

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 23-02-20 à 12:37

arrête avec ces df/dx et autre et écris simplement f' ou f" ...

f'(x) existe si et seulement si

x ]-oo, -2] U ]0, +oo[ (ensemble de définition de f)
x 2 ( (u(x)) est dérivable pour u(x) > 0)

donc ...

l'ensemble de définition de f" est le même que celui de f' (car on les mêmes conditions)

...

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:07

Mdr carpediem, j'aimerai bien mettre f'' dans le tableau de signe/dérivée ect.... mais le tableau le refuse !
Le ‘' n'apparaît pas dans le tableau, je suis contraint de mettre d/dx mais en temps normal sur feuille je met f''.

Ah il faut mettre si et seulement si ?
Pour l'ensemble de def. ? Et f' ne comprend pas -2 dans son ensemble de def.
??

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:12

qu'est ce que tu chantes là ? essai de tableau

\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & 4 & & +\infty & \\ {f''(x)} & & + & 0 & + & & \\ {f'(x)} & & \nearrow & & \nearrow & & \end{array}

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:15

Quoi !?? J'ai essayé 10 fois ça marchait pas mdr

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:16

\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & 4 & & +\infty & \\ {f''} & & + & 0 & + & & \\ {variation} & & \searrow & & \nearrow & & \end{array}

Allez voir la source code moi ça ne marche pas !

malou edit > tu n'avais pas mis les "bons"   "  '  "
regarde je les ai mis

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:18

Vous êtes sur ordinateur, on n'a pas les même « ‘' », le latex accepte le vôtre mais moi il m'aime pas

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:20

encore heureux qu'il m'aime !
moi c'est le ' de la touche 4 sur ordi
toi je vois un drôle de truc
tu pourras faire des copier-coller des miens

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:22

Enfin bref c'est un détail, j'irai copier vos ‘' la prochaine fois.
Malgré tout ça est-ce que c'est correct ? Ce que j'ai fais ? La convexité, la dérivée seconde c'est galère de vérifier mais bon ?
Sur le graphique c'est difficile de savoir si ce que j'ai fais est bon..

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:23

Je vais faire un raccourci de touche sur iphone et je prendrai vos ‘' à la place

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:27

Je peux même pas faire de raccourcis clavier, mon iPhone remplace ton truc par le mien ...

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:31

c'est tout simplement l'apostrophe (de l ' apostrophe) que je double

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:33

Après vérification avec wolfram alpha, mes résultats semble correct !

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:36

C'est mental comme exercice à faire sur iphone, la dérivée seconde prend 30 min, alors que sur papier c'est pas plus de 10 min.
Plutôt sympa comme exercice !

Est-ce que ma rédaction est un peu mieux ? Du moins pour les ensembles de définition ect...
Je parle pas de la dérivée seconde qui est un peu bordélique, mais ça c'est pas de ma faute xD...

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:37

t'as raison d'apprendre à te contrôler seul...j'avoue que là..pas trop envie...

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:44

oui attention pour écrire f" en latex il faut mettre un double prime ' et non pas utiliser les guillemets " (anglo-saxon car le guillemet français est <<... >>)

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:45

Je te comprends totalement déjà que à faire c'est une torture xD.

Une petite question en faisant l'ensemble de définition :

f existe si et seulement si \begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0\end{cases}

Mais si en étudiant la limite en 0 on trouvait que f était continue ?
On laisse l'ensemble de def comme ça ? Ou on rectifie après ?

Exemple :

x² +2 est défini \forall{x}\in\R
Mais si on factorise :

x(x+\dfrac{2}{x}), on peut pas dire que son ensemble de def est \R^{*}

??

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:47

x^2 + 2 > 0 donc je ne comprends pas ...

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 13:51

Je reformule

g(x) = x² + 2

Mais si on factorisent on peut pas dire que :

g(x) = x(x+2/x)

g(x) existe si et seulement si \begin{cases}x \ne 0\end{cases}

?? Car x² + 2 est défini \forall{x}\in\R , et non \R^{*}

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 23-02-20 à 14:28

Fin je sais pas ??

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 23-02-20 à 16:26

ben non !!

g(x) = x^2 + 2 est définie sur R

maintenant pour x <> 0 et si tu en as besoin tu peux éventuellement écrire que g(x) = x(x + 2/x)

Posté par
alb12re : Exercice fonction. 23-02-20 à 16:46

salut,
pour x different de -2 et 0, on peut deriver d'abord ln(f) puis en deduire f'
idem pour f''

pour des verif rapides je te conseille Xcas plutot que Wolfram
il suffit de qqs secondes pour obtenir:

\\ \left(\begin{array}{ccccccccccccc} \\ x & -\infty  &   & -\sqrt{2}-2 &   & -2 &   & 0 & 0 &   & \sqrt{2} &   & +\infty  \\ \\ y'=(\frac{(x^{2}-2) e^{x^{-1}}}{\sqrt{x^{2}+2\cdot x}\cdot x}) & -1 & - & -2 \sqrt{\sqrt{2}-1} e^{\frac{(\sqrt{2}-2)}{2}} & - & \mathrm{||} & X & \mathrm{||} & \mathrm{||} & - & 0 & + & 1 \\ \\ y=(e^{x^{-1}} \sqrt{x^{2}+2\cdot x}) & +\infty  & \searrow  & \sqrt{2 (\sqrt{2}+1)} e^{\frac{(\sqrt{2}-2)}{2}} & \searrow  & 0 & X & 0 & +\infty  & \searrow  & \sqrt{2 (\sqrt{2}+1)} e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} & \nearrow  & +\infty  \\ \\ y'' & 0 & + (\cup ) & 0 & - (\cap ) & \mathrm{||} & X & \mathrm{||} & \mathrm{||} & + (\cup ) & \sqrt{2 (\sqrt{2}-1)} e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} & + (\cup ) & 0 \\ \end{array}\right) \\

il y a parfois de petites erreurs dans le tableau des variations,
n'hesite pas à me les signaler

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 23-02-20 à 17:23

alb12 : que signifient les symboles +(U) et -() ?

merci par avance ...

Posté par
alb12re : Exercice fonction. 23-02-20 à 17:26

tourné vers le haut, vers le bas
le developpeur a voulu faire plaisir aux profs de lycee

Posté par
alb12re : Exercice fonction. 23-02-20 à 17:47

j'avoue que je suis un peu responsable de cet affichage

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 23-02-20 à 19:08

d'accord et merci

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