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Niveau terminale
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Exercice fonction.

Posté par
FerreSucre 21-02-20 à 12:48

Bonjour, avez-vous un exercice à me donner à faire, sur par exemple ses sujets :
- Une étude complète d'une fonction
- Une suite
- des Limites ( qui rejoindrait plus l'étude d'une fonction)
- Intégration .

Si vous n'avez pas envie de m'en donner 1, je ne vous force pas vous inquiétez pas, c'est si jamais vous en avez un sous la main , je suis preneur.

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 12:49

Que j'essayerais bien entendu de faire au propre. Différemment de d'habitude

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 21-02-20 à 13:27

il y en a plein sur le forum ...

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 13:31

? Comment ça ? Vous avez une page d'exercices ?

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 21-02-20 à 13:40

en cliquant à gauche dans le menu sur "Forum de maths" tu arrives là : [lien]
et tous les niveaux ont leurs sujets classés
exemple : terminale / suites
ou supérieur, etc...

après si tu vas dans "Fiches de maths", (au dessus), tu as tous les niveaux, terminale, Bac , Bac +
....

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 14:25

J?en ai trouvé un correct, Polynésie Bac S : Bac S obligatoire et spécialité Polynésie 2019 et son corrigé

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 21-02-20 à 14:30

tiens voila une petite fonction sympa ....

Etude de fonction

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 14:39

Question 1 :

I_o = \begin{aligned}\int_{0}^{1/2}{\dfrac{1}{1-x}dx} = [-ln|1-x|]_{0}^{1/2} = -ln(\dfrac{1}{2}) + ln(1) = ln(2)\end{aligned}

Question 2a :

I_o - I_1 = \begin{aligned}\int_{0}^{1/2}{\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{x}{1-x}dx} = \int_{0}^{1/2}{1}dx = [x]_{0}^{1/2} = \dfrac{1}{2}\end{aligned}

Question 2b :

I_o - I_1 = \dfrac{1}{2}
ln(2)-I_1 = \dfrac{1}{2}
I_1 = -\dfrac{1}{2}+ln(2)
I_1 =ln( \dfrac{2}{\sqrt{e}})

Question 3 :

I_n - I_{n+1} = \begin{aligned}\int_{0}^{1/2}\dfrac{x^n-x^{n+1}}{1-x}dx} = \int_{0}^{1/2}{\dfrac{x^n(1-x)}{1-x}}dx = \int_{0}^{1}{x^n}dx \end{aligned} = [\dfrac{x^{n+1}}{n+1}]_0^{1/2} = \dfrac{(1/2)^{n+1}}{n+1}

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 14:40

Ah merci carpediem . Je vais voir ça.

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 14:45

Dans l'exercice de BAC S, y'avait peut-être juste la somme S_n qui était intéressante. Je la finis ou pas ? Et après je fais l'exo de carpediem

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 14:54

Tu me diras :

Question 5a :

\begin{aligned}I_o - I_n = \int_{0}^{1/2}{\dfrac{1-x^n}{1-x}dx}\end{aligned}

On reconnaît la somme des termes du suite géométrique jusqu'à n-1, de raison x :

\begin{aligned}\int_{0}^{1/2}{1+x+x² x^3...+x^{n-1}}dx = [x+\dfrac{1}{2}x+...\dfrac{n}x^n]_{0}^{1/2} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{(1/2)²}{2}+...\dfrac{(1/2)^n}{n}= S_n\end{aligned}

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 14:56

Quelques petites erreurs d'inattention :

\begin{aligned}\int_{0}^{1/2}{1+x+x²+x^3...+x^{n-1}}dx = [x+\dfrac{1}{2}x² +...\dfrac{x^n}{n}]_{0}^{1/2} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{(1/2)²}{2}+...\dfrac{(1/2)^n}{n}= S_n\end{aligned}

Voilà

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 15:02

Question 5b :

D'après la 4a) :

0 \leq I_n leq \dfrac{1}{2^{n-1}}

Soit lim_{n\to +\infty}I_n \leq \lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{2^{n-1}} = 0

0 \leq \lim_{n\to +\infty}I_n \leq 0

Donc :

\lim_{n\to +\infty}I_n = 0

Or S_n = I_o - I_n
Donc : \lim_{n\to +\infty}S_n = I_o = ln2

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 15:40

Alors la fonction de carpediem :

f(x) = e^{1/x}\sqrt{x(x+2)}

Le polynôme dans la racine va déterminer le domaine de définition ainsi que le 1/x :

x²+ 2x = x(x+2)

x(x+2) = 0 \iff x = 0 \iff x = -2
Donc x(x+2) > 0 ,  \forall{x} \in]-\infty ; -2]U[0;+\infty[

Or : e^{1/x} est défini sur \R^{*}

Mais, la limite en 0 de f(x) est de la forme :
\infty*0
Il faut étudier la continuité de f en 0^{+}:

\lim_{\frac{x\to 0}{x >0}}e^{1/x}\sqrt{x(x+2)} = \lim.. \dfrac{e^{1/x + 2lnx}+e^{ln2x}}{x}

On peut se débarrasser du e^{ln2x} car il tend vers 0.
Doit étudier la limite de :
\lim_{x\to 0}\dfrac{1+xlnx²}{x}

On sait que :
\lim_{x\to 0+}xlnx^n = 0

\lim_{x\to 0}\dfrac{1+xlnx²}{x} = +\infty

Donc on a :

\lim_{\frac{x\to 0}{x >0}}e^{1/x}\sqrt{x(x+2)} = \lim.. \dfrac{e^{1/x + 2lnx}+e^{ln2x}}{x} = +\infty

Donc f est défini \forall{x}\in]-\infty;-2]U]0;+\infty[

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 15:53

Je te fais la dérivée, la derivabilité , variation tout à l'heure

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 21-02-20 à 15:57

Citation :
Que j'essayerais bien entendu de faire au propre. Différemment de d'habitude
vœu pieu
je ne parle ici que de rédaction

Citation :
Le polynôme dans la racine va déterminer le domaine de définition ainsi que le 1/x :

x²+ 2x = x(x+2)

x(x+2) = 0 \iff x = 0 \iff x = -2 non
Donc x(x+2) > 0 , \forall{x} \in]-\infty ; -2]U[0;+\infty[ non

Or : e^{1/x} est défini sur \R^{*}
et plusieurs plusieurs lignes plus bas
Donc f est défini \forall{x}\in]-\infty;-2]U]0;+\infty[


tu peux nous revoir tout ça s'il te plaît ? ....

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 16:16

If you want
Je te revois ça se soir, si j'ai le temps.

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 16:18

J'ai un gros problème de rédaction moi, ça c'est le pire . Dès que je veux utiliser quelques symboles de math..

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 16:20

En tout cas je tiens à dire que pour une fois je me suis pas trop fait défoncée par malou, c'est en cours d'amélioration on va dire mdr...

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 21-02-20 à 16:24

je ne t'ai jamais défoncé comme tu dis...
par contre, si je dois valider ta demonstration de recherche d'ensemble de définition, je ne la valide pas...
j'ai bien vu que tu avais un souci de rédaction, et c'est bien pour ça que je t'embête là dessus, car c'est pour ton bien....après tu en fais ce que tu veux
tu as plein d'idées et tu dois apprendre à les écrire

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 16:53

Je suis complètement d'accord avec toi malou, je veux m'améliorer en rédaction donc c'est bien que tu me fasses réécrire mes résultats.

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 17:31

Ah les flèches :

\iff
Ça veut pas dire « quand » enfaite ?
C'est la flèche :

\Rightarrow

Qu'il faut utiliser ?

Posté par
Yzzre : Exercice fonction. 21-02-20 à 17:43

Salut,

signifie : "si et seulement si" , ou "équivaut à"

signife "donc" ou "si (...) alors (...) "

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 17:55

Ah donc des y'a plusieurs solutions c'est cette fleche ;

\Rightarrow
???

Posté par
Yzzre : Exercice fonction. 21-02-20 à 17:57

Non.
Ca ne dépend pas du nombre de solutions !
C'est une question de structure de la réponse...

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 18:02

Donc pour :

x(x+2) = 0

Je structure ça comment pour que ça tienne dans peu et que ça soit propre ?

Posté par
Yzzre : Exercice fonction. 21-02-20 à 18:05

x(x+2) = 0 x=0 ou x+2=0
                       x=0  ou  x=-2

donc S = {0;-2}.

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 21-02-20 à 18:09

d'autre pas la nullité d'une expression ne donne pas son signe !!!

il faut résoudre le système : \left\lbrace\begin{matrix} x^2 + x \ge 0\\ x \ne 0 \end{matrix}\right.

l'accolade étant équivalente à un et

ensuite il faut donc justifier le passage de la nullité du trinome à son signe ...

c'est cela la rigueur !!!

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 18:44

Je suis pas sûr de comprendre pourquoi :

\begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0\end{cases}

Pourquoi x \ne 0 ?
Et pouvez-vous me faire une structuration propre de cela, celle de Yzz, je l'aime pas

x(x+2) \ge 0

Pour que je sache faire la prochaine fois s'il vous plaît .

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 18:50

Je commence à voir mes erreurs dans ce que j'ai écrit mais c'est juste pour la rédaction svp

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 18:54

Je propose :

x(x+2) \ge 0 \Rightarrow \begin{cases}x + 2 \ge 0 \iff x \ge -2 \\ x \ge 0 \end{cases}

Est-ce correct ?

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 18:59

Ah oui j'ai oublié :

x(x+2) \ge 0 , \forall{x} \in ]-\infty;-2]U[0;+\infty[

Ahrr c'est quand même pas clair ce que j'ai fais

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 21-02-20 à 19:02

f(x) existe si et seulement si   \left\lbrace\begin{matrix} x^2 + x \ge 0\\ x \ne 0 \end{matrix}\right.

or x^2 + x \ge 0 \iff x(x + 2) \ge 0

le trinome x(x + 2) est donc positif à l'extérieur de ses racines -2 et 0 (cours première : signe du coefficient de x^2)

donc f est définie sur l'ensemble ]-oo, -2] U ]0, +oo[

REM 1 : factoriser un trinome signifie donc qu'il a des racines (qui sont triviales ici)

REM 2 : on écrit toujours l'ensemble des conditions d'existence (ici x <> 0 à cause de la fraction)

ensuite suivant la complexité (des (in)équations) on traite chaque condition une par une ... si on ne peut pas les traiter toutes ensembles ...

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 19:12

Citation :
le trinome x(x + 2) est donc positif à l'extérieur de ses racines -2 et 0 (cours première : signe du coefficient de x^2  

On peut passer de :

x(x+2) \ge 0, \forall{x}\in ]-\infty;-2]U[0;+\infty[

Sans justification directement comme ça ?

Et on peut pas dire x \ne 0
Avant d'avoir étudier la limite en 0 ?

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 21-02-20 à 19:20

Citation :
Sans justification directement comme ça ?
et qu'ai-je écrit entre parenthèses ?

ben 0 est une "valeur interdite" (entre guillemets car je n'aime pas cette expression ... même si je l'utilise ... uniquement à l'oral !!!)

donc pour l'étude f il faut bien étudier sa limite en 0 ...

et ce que tu fais est bien compliqué :

x > 0 donc déjà le facteur \sqrt {x + 2} ne pose aucun pb

ensuite je te suggère de poser u = \sqrt x pour le reste ...

et les théorèmes de croissance comparée permettent alors de conclure  immédiatement ...

Posté par
Yzzre : Exercice fonction. 21-02-20 à 19:57

FerreSucre @ 21-02-2020 à 18:44

Je suis pas sûr de comprendre pourquoi :

\begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0\end{cases}

Pourquoi x \ne 0 ?
Et pouvez-vous me faire une structuration propre de cela, celle de Yzz, je l'aime pas

x(x+2) \ge 0

Pour que je sache faire la prochaine fois s'il vous plaît .

Posté par
Yzzre : Exercice fonction. 21-02-20 à 20:00

Oups, parti trop vite.

FerreSucre @ 21-02-2020 à 18:44

Je suis pas sûr de comprendre pourquoi :

\begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0\end{cases}

Pourquoi x \ne 0 ?
Et pouvez-vous me faire une structuration propre de cela, celle de Yzz, je l'aime pas

x(x+2) \ge 0

Pour que je sache faire la prochaine fois s'il vous plaît .

Sans discuter des goûts et des couleurs, des "j'aime " ou "j'aime pas"...
Je ne t'ai pas proposé une "structuration" (comme tu dis) de la réponse à \begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0\end{cases}

Relis nos échanges...

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 21-02-20 à 20:03

Citation :
Et on peut pas dire x \ne 0
Avant d'avoir étudier la limite en 0 ?


rien à voir....

f(x) = e^{1/x}\sqrt{x(x+2)}

moi je vois 1 fraction ---> donc 1 condition x\neq 0
et 1 racine carrée ----> donc 1 condition x(x+2)\geq 0

soit 2 conditions qui doivent s'écrire en système, d'où la rédaction de carpediem

Citation :
f(x) existe si et seulement si \left\lbrace\begin{matrix} x(x+2) \ge 0\\ x \ne 0 \end{matrix}\right.

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 20:48

Je tente pour l'ensemble de définition + continuité :

f(x) = e^{1/x}\sqrt{x(x+2)}

\sqrt{x(x+2)} est défini seulement si :
x(x+2) \ge 0 soit :
et x(x+2) \ge , \forall{x}\in]-\infy;-2]U[0;+\infty[

e^{1/x} est défini sur \R^{*}

Cependant étudions la continuité de f :

\lim_{x\to 0^{+}}e^{1/x}\sqrt{x(x+2)

u = \sqrt{x}

\lim_{u\to 0^{+}}e^{1/u²}u\sqrt{u²+2}
\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{u²+2} = \sqrt{2}

On étudie donc :

\lim_{x\to 0^{+}}ue^{1/u²}

X = \dfrac{1}{u^2},  u = \dfrac{1}{\sqrt{X}}

\lim_{X\to +\infty}\dfrac{e^X}{\sqrt{X}} = +\infty

On a donc :

\lim_{x\to 0^{+}}e^{1/x}\sqrt{x(x+2))}= +\infty

f n'est pas continue en 0^{+}.

Pour conclure :

f est défini \forall{x}\in ]-\infty;-2]U]0;+\infty[.

Petite question j'aime pas trop dire que \sqrt{x(x+2)} est seulement défini si x(x+2) \ge 0, il peut être défini dans \C ? C'est un peu faux comme tournure de phrase ducoup non ?

Dites moi ce qui ne va pas, ect... merci

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 20:50

Oui je sais Yzz t'inquiètes, je t'en veux pas mdr ! , je disais juste que je trouve ça encore imposant comme rédaction.

Posté par
Yzzre : Exercice fonction. 21-02-20 à 20:55

Yzz @ 21-02-2020 à 18:05

x(x+2) = 0 x=0 ou x+2=0
                       x=0  ou  x=-2

donc S = {0;-2}.
C'est ça que tu trouves "imposant" ? ...    

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 21-02-20 à 20:57

tu n'as pas lu nos remarques...

tu refais la même erreur
tu crois devoir parler de continuité avant de conclure pour l'ensemble de définition

non non non....

tu traites ton ensemble de définition d'abord et tout seul, sans histoire de limites ou de continuité

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 21:06

Bah ducoup c'est ce que j'ai fais sans la continuité :



f(x) = e^{1/x}\sqrt{x(x+2)}

\sqrt{x(x+2)} est défini seulement si :
x(x+2) \ge 0 soit :
et x(x+2) \ge , \forall{x}\in]-\infty;-2]U[0;+\infty[

e^{1/x} est défini sur \R^{*}

Donc f est défini \forall{x}\in]-\infty;-2]U]0;+\infty[

Il me semblait que la continuité en 0 participait au domaine de définition.
Au pire la continuité en 0 est déjà faite.
C'est ça ducoup malou ?

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 21-02-20 à 21:10

il est préférable d'écrire f définie pour....et de mettre en système toutes les conditions immédiatement

non, la continuité ne participe pas à la détermination de l'ensemble de définition

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 21-02-20 à 21:12

y a pas à tortiller, tu peux pas faire beaucoup mieux que ça

Citation :
f(x) existe si et seulement si \left\lbrace\begin{matrix} x^2 + x \ge 0\\ x \ne 0 \end{matrix}\right.

or x^2 + x \ge 0 \iff x(x + 2) \ge 0

mais le trinome x(x + 2) est positif à l'extérieur de ses racines -2 et 0 (cours première : signe du coefficient de x^2)

donc f est définie sur l'ensemble ]-oo, -2] U ]0, +oo[

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 21:21

Ah d'accord c'est ducoup :

f(x) existe si : \begin{cases}x(x+2) \ge 0 \\ x \ne 0\end{cases}

Et ,

x(x+2) \ge 0 , \forall{x}\in]-\infty:-2]U[0;+\infty[, car le coefficient ax² , a > 0.

Doncf est défini\forall{x}\in]-\infty:-2]U]0;+\infty[

On s'approche de la perfection xD? Et comme je disais f existe si...
f peut exister dans \C
Sinon non ?

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 21-02-20 à 21:26

je n'aime pas ce mais qui semble introduire une contradiction or ce qui suit est dans la continuité de ce qui précède



et je rejoins malou dans ses commentaires : tu mélanges plein de choses

l'étude d'une fonction consiste en :

1/ déterminer son ensemble de définition
1'/ éventuellement certaine propriété complémentaire (parité et autre symétrie, périodicité, ...)
2/ déterminer les limites aux bornes de celui-ci
2'/ éventuellement prolonger la fonction par continuité
3/ déterminer son ensemble de dérivabilité
3'/ éventuellement prolonger la dérivée par continuité ou autre points particulier
4/ signe de la dérivée et variation de la fonction

5/ synthèse complète éventuelle à l'aide d'un tableau de variation et autre particularité ...

Posté par
FerreSucrere : Exercice fonction. 21-02-20 à 21:31

Oui d'accord carpediem, je saurais pour la prochaine fois ducoup, juste comme ça si f était continue en 0, 0 serait dans le domaine de def ?

Citation :
  je n'aime pas ce mais qui semble introduire une contradiction or ce qui suit est dans la continuité de ce qui précède    
  

Trop dur à comprendre pour moi cette phrase déjà que je suis nul en français alors là ça retourne le cerveau mdr..

Posté par
carpediemre : Exercice fonction. 21-02-20 à 21:33

Citation :
je n'aime pas ce mais qui semble introduire une contradiction or ce qui suit ce mais est dans la continuité de ce qui le précède

Posté par
malou Webmasterre : Exercice fonction. 21-02-20 à 21:36


en réalité je trouve qu'en Français, ces deux or qui se suivent, ce n'est pas très heureux ...mais j'ai très bien compris ce que tu voulais dire ....


on va retourner le cerveau de FerreSucre ce coup là...avec des choses toutes simples en fin de compte...

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