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Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne.

Posté par
olive_68 31-05-10 à 22:59

Bonjour

Je commence tout de suite par préciser que je ne veux aucune piste sauf si je le demande explicitement .

Une autre précision de taille ^^, c'est un exercice qui comporte 10 questions que je poste au fur et à mesure .

Voilà l'énoncé :

Citation :
Soit 3$f une fonction numérique réelle (ou complexe) dérivable dans un intervalle 3$\rm I de 3$\bb{R. On suppose que 3$f^{\prime} est lipschitzienne pour un nombre réel 3$\cal{M.

1. Démontrer que pour tout couple 3$(a,x) de point de 3$\rm I, il existe un nombre réel (ou complexe) 3$r tel que 3$|r|\le \cal{M et

                3$(*) \, \, \, f(x) \, = \, f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\fr{1}{2}r(x-a)^2


Alors voilà j'étais un peu étonné de voir un telle égalité, et je viens de me rendre compte que si je prends 3$a=0 et 3$f\, = \, \sin on a pas égalité pour tout 3$x.

Donc voilà pour être sur que j'ai bien compris, on veut démontrer que pour 3$a,x fixés on peut trouver 3$r vérifiant les conditions ?

Merci d'avance !

Posté par
Drysssre : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:04

En effet, fie toi à l'ordre des quantificateurs.
On te parle AVANT de a et de x donc c'est à a et x fixés.

Posté par
bamboumre : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:18

je ne veux aucune piste
a paramètre
x variable
1- OK (évident)

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:21

Salut Drysss, salut bamboum.

Ok, merci de vos réponses ! Donc je me lance :

Citation :
3$f^{\prime} est 3$\cal{M}-lipschitzienne, alors 3$\forall (a,x)\in \mathrm{I}^2 ,   3$\|f^{\prime}(x)-f^{\prime}(a)\|\le \cal{M}|x-a| .

3$\forall (a,t)\in \mathrm{I}^2 il est possible de trouver 3$|r|\le \cal{M} tel que (qui à prendre 3$-r) 3$f^{\prime}(t)-f^{\prime}(a)\, = \, r(t-a) .

Si l'on intègre la relation entre 3$a et 3$x(\in \mathrm{I}), on en déduit que 3$r vérifie également l'égalité : 3$f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)\, = \, \fr{1}{2}r(x-a)^2

C'est-à-dire que, pour tout 3$(a,x)\in \mathrm{I}^2, il existe un nombre réel 3$r tel que 3$|r|\le \cal{M} et 3$(*)
.

Est-ce que c'est juste ?

Merci d'avance !! ( Je rappel que je ne veux pas d'indice, puisque je le fais dans le but de progresser )

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:23

( J'aurais peut-être du écrire, pour plus de rigueur, "  3$\forall (u,u^{\prime})\in \mathrm{I}^2 , 3$\|f^{\prime}(u)-f^{\prime}(u^{\prime})\|\le \cal{M}|u-u^{\prime}|  " puisque je ne parle pas du même 3$a et 3$x ensuite ... )

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:28

(Je précise aussi que je traite tout le long le cas à valeur réel, celui à valeur complexe je pense que j'arriverais à le déduire)

Posté par
Drysssre : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:40

Faux!
r dépend de t et de a donc tu ne peux pas intégrer de cette facon.

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:42

J'hésitais au départ à prendre un nombre 3$v avant d'intégrer et donc de dire qu'il existe 3$r tel que ... c'est mieux comme ça ?

J'ai une autre question, on ne dit pas que 3$f^{\prime} est continue, j'ai pas le droit d'intégrer en fait si ?

Posté par
Drysssre : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:51

Je n'ai pas compris ce que tu veux faire pour la 1ère question donc je ne peux pas te répondre.
Pour la deuxième : es tu sur qu'on ne te dit rien sur la continuité de f'???

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:53

Bon je poste là ce que j'ai fais pendant que vous répondiez,

Citation :
2. On suppose dans cette question que 3$\mathrm{I}\, = \, [0,1], que 3$\cal{M} \, = \, 1 et que 3$f(0)\, = \, f(1) \, = \, 0 .

  a) Soit 3$x un élément de 3$\mathrm{I}. Etablir les inéglités :

                 3$|f(x)|\le \fr{1}{2}x(1-x)         et        3$|f^{\prime}(x)|\le \fr{1}{2}\[x^2+(1-x)^2\]


Au lieu de voir l'égalité 3$(*) du point de vu de 3$x, nous allons le voir de 3$a.

On pose alors 3$x=0 et 3$x\, = \, a :

          3$f(x)-xf^{\prime}(x)+\fr{1}{2}rx^2\,= \, 0

De même si 3$x=1 :

          3$f(x)+f^{\prime}(x)(1-x)+\fr{1}{2}r(1-x)^2 \, = \, 0

On résous et on trouve que 3$\|f^{\prime}(x)\| \, = \, \|\fr{r}{2}\[x^2-(1-x)^2\]\| \, \le \, \|\fr{r}{2}\[x^2+(1-x)^2\]\| \, \le \, \fr{1}{2}\[x^2+(1-x)^2\]

De même 3$\|f(x)\| \, \le \, \fr{1}{2}x(1-x)

Merci encore !

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:55

Je voulais dire que je voulais prendre un nombre 3$v tel que 3$f^{\prime}(t)-f^{\prime}(a)\, = \, v(t-a).

Intégrer entre 3$a et 3$x et conclure qu'il existe un nombre 3$r vérifiant 3$(*)

Apparement c'est pas ça, donc je m'y remet

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 31-05-10 à 23:55

(Et l'énoncé est recopié au mot près, donc non on ne dit rien quant à la continuité de la dérivée .. )

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 01-06-10 à 00:05

Bon je pense que la a) peut se montrer sans intégrer et tout le bidule en fait, puisque (pour 3$x\neq a ) :

            3$ (*) \, \, \Longright \, \, \fr{f(x)-f(a)}{x-a}\, = \, f^{\prime}(a) +\fr{r}{2}(x-a)

Et ça tue les yeux graphiquement qu'il y a possibilité de rajouter une fonction affine tel que affecté d'un coefficient bien choisis on est 3$(*).

C'est peut-être une meilleur approche en fait !

Désolé flood mais bon, comme je ne demande pas de piste à suivre c'est à moi de m'assurer que je ne pars pas dans de mauvaise direction ^^

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 01-06-10 à 00:47

J'ai réussi à bien comprendre graphiquement ce qui se passe donc je pense (j'espère) trouver quelque chose dans la nuit, je m'attaque à la suite pour le moment.

Citation :
2.b)  Donner un exemple de fonction 3$f pour laquelle la première de ces inégalités est vraie pour au moins un nombre réel 3$x tel que 3$0<x<1 .


Je rappel l'inégalité en question : 3$|f^{\prime}(x)|\, = \, \fr{1}{2}x(1-x)

La fonction nulle est solution pour 3$x \, = \, \fr{1}{2} par exemple

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 01-06-10 à 07:17

Bon je corrige quelque truc avant d'aller en cours,

Dans mon dernier post, l'égalité est bien sur 3$|f(x)|\, \le \, \fr{1}{2}x(1-x) .

Et en fait si, 3$f^{\prime} est lipschitzienne, donc continue

Désolé pour toute la lecture .. Bonne journée !

Posté par
Drysssre : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 01-06-10 à 19:51

Pour la 1), recolle tes réponses en un seul morceau pour que je les lise et une preuve graphique n'est pas suffisante pour répondre à une question. Il faut la mettre en forme.

PS : pour être sur que tu rédiges bien, tu devrais peut-être indiquer explicitement les dépendances comme ca, tu es sur de ne pas te tromper.


2)a)Non, ce n'est pas le même r dans tes deux égalités. Et d'ailleurs ca n'a pas trop de sens d'écrire "On pose alors x=0 et x=a".
Préfère ce genre de rédaction : on applique 1) entre 0 et x, on trouve alors r tel que :
f(x)=f(0)+xf'(0) +rx^2/2
ou si tu veux faire dans l'autre sens :
f(0)=f(x)+ f'(x)(0-x) + rx^2/2

b)Ok, si j'ai bien compris la question (qui est assez bizarre d'ailleurs tellement elle est évidente).

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 01-06-10 à 21:18

1.

Citation :
une preuve graphique n'est pas suffisante pour répondre à une question

C'était pour que j'avance un peu dans le sujet, si je vois graphiquement les choses, y a surement moyen de les démontrer.
Donc voilà.

2.a) Oui c'est maladroit, en tout cas je voulais bien intervertir les deux (

Et je vais suivre ton conseil, donc dans la suite je vais noter indicer mes 3$r.

  b) Celle d'après l'est moins (Enfin moi j'ai passé la nuit dessus sans avancer, j'ai déjà mis deux heures à chercher un contre-exemple parce que ça me semblait faux mais je commence à penser qu'il n'y a pas d'erreur dans le sujet )

Je continue de chercher pour la c) ... et merci pour ton aide !!

(Alors ces concours, bien passé en fait ?)

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 02-06-10 à 01:12

Citation :
2.c) Démontrer que s'il existe un nombre réel 3$x_0 tel que 3$0\, < \, x_0 \, < \, 1 et 3$\|f(x_0)\| \, = \, \fr{1}{2}x_0(1-x_0) alors 3$f est une fonction polynomiale de degré 2.


J'aimerais juste savoir si cette question nécessite un minimum de réflexion ou si je passe à côté de quelque chose de évident ?

En fait j'ai plusieurs idées mais je ne vois pas comment les mettre en place,

   * C'est un polynôme de degré 2 si et seulement si sa dérivée seconde est constante.

   * Montrer que si l'égalité est vérifier en un point de I privé de ses bornes alors tout point de I vérifie l'égalité.

Donc voilà, j'aimerais juste savoir si il y a moyen de mener à bien une de mes deux pistes.

Si une des deux pistes permet d'y arriver, merci de ne pas me dire laquelle (C'est un peu bizarre comme demande d'aide lol)

Posté par
Drysssre : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 02-06-10 à 22:38

Non mais, fais les questions dans l'ordre.
Quelque fois, e résultat ne suffit pas toujours mais on utilise la facon d'obtenir le résultat. Et c'est très souvent le cas dans les cas d'égalité : il faut voir comment tu obtiens l'inégalité et tu mets des = partout.

Fais tout PROPREMENT et après tu pourras conclure.

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 04-06-10 à 23:23

Re (désolé j'avais besoin de laisser de côté cet exercice quelques jours)

Le cas ou 3$x\, = \, a est à traité à part et donne directement ce qu'on souhaite montrer.

On utilise le critère M-lipschitzien de la dérivée, d'après la définition : 3$-\cal{M}(x-a)+f^{\prime}(a) \, \le \, f^{\prime}(x) \, \le \, \cal{M}(x-a)+f^{\prime}(a).

La dérivée est lipschitzienne, cela implique sa continuité donc en intégrant notre inégalité entre 3$a et 3$x puis en passant à la valeur absolue avec quelques transformations on a :

3$0\le \|\fr{f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)}{(x-a)^2}-\fr{\cal{M}}{2}\| \, \le \, \|\cal{M}\|.

L'inégalité triangulaire donne 3$2\|\fr{f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)}{(x-a)^2}\|\, \le \, \|\cal{M}\|

On pose 3$\|r\| \, = \, 2\|\fr{f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)}{(x-a)^2}\| qui est inférieur ou égale à 3$\cal{M en valeur absolue .

Alors, pour un tel 3$r l'égalité 3$(*) est vérifié.

Dans tout les cas, à 3$a,x fixés, il existe 3$r tel que ....


J'espère que j'ai pas été trop mauvais cette fois ci.. Merci encore !

Posté par
olive_68re : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 04-06-10 à 23:33

( euh l'extension aux complexes se fait sans problème, il suffit de remplacer 'valeur absolue' par 'module' dans les explications )

Pour la 2.c j'ai demandé de l'aide à mon prof, en fait j'ai remarqué qu'une tel fonction 3$f ne pouvait pas être plus courbé que la fonction 3$\fr{x}{2}(x-1) sur [0,1]. ( Je sais pas trop comment expliqué mon "plus courbé" mais un exemple, 3$\cos(x) est moins courbé que 3$1-\fr{x^2}{2} en sur 3$[-2,2])

Et c'est vrai que ça se traduit pas l'inégalité des accroissement finis (son aide), mais je n'arrive pas à le mettre en forme.

En fait pour que l'égalité ait une solution, il faut que l'inégalité des accroissement finis soit une égalité et donc que 3$f^{\prime} soit affine.

Tu pensais à ça pour répondre à la question ?

Posté par
Drysssre : Exercice fonction dérivable à dérivée lipschitzienne. 05-06-10 à 10:06

la seule facon pour que r=1, c'est que pour tout t entre 0 et x, |f'(t)|=t+|f'(a)|. Sinon on montre facilement que r<1.

De même pour le r2 entre x et 1.
Tu intègres et tu as f polynomiale. C'est l'idée.


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