Bonjour stan492

Juste une précision : E est-il de dimension finie ?
Dans le cas contraire, cela me paraît un peu difficile de définir l'intégrale de f.

Kaiser

Il me semble que E peut être de dimension infinie, il n'y a pas de précision à ce niveau la. Peut être que qqchose m'échappe, mais quel est le problème si E est de dimension infinie ? L'essentiel est que f soit définie sur un segment de R ([a,b]) non ?

Ben ce qui me gêne, c'est comment on pourrait définir de manière formelle l'intégrale d'une fonction qui serait à valeur dans un espace qui ne serait pas de dimension finie.
Quand elle est à valeurs réelles, on sait qu'on passe par Riemann.
Comment faire alors dans un cadre plus général ?

Il me semble que l'intégration sur un compact est bien définie, certes pour E un espace vectoriel normé de dimension finie, mais plus généralement sur tout espace de Banach (complet) donc de dimension éventuellement infinie. Dans ce cas, l'intégrale peut être définie de la manière suivante non ? :
si f est continue par morceaux sur un compact [a,b], il existe une suite de fonctions en escaliers définies sur [a,b] à valeur dans E convergeant uniformément vers f. L'intégrale de f est alors la limite quand n tend vers l'infini de l'intégrale des termes de la dite suite de fonctions.

Bonjour stan492
Je sais que ce topic date d'il y a deux deus jours mais ça m'embêtait de pas revenir sur ce problème mais je pense avoir trouvé une condition nécessaire et sufisante pour que l'égalité soit satisfaite.
Il faut qu'il existe une fonction continue de [a,b] à valeurs réelles et de signe constant et un vecteur constant u tel que pour tout x, .
On va noté (|) le produit scalaire de E.

Soit x un élément quelconque de [a,b]

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :


Posons alors
est clairement continue et positive.
Calculons son intégrale sur le segment [a,b]


On en déduit que l'integrale de sur [a,b] est nulle. Or cette fonction est positive et continue sur cet intervalle, donc elle est nulle.
Ainsi, le cas d'égalité dans Cauchy-Schwarz est vérifié pour tout x. on en déduit que pour tout x, il existe un réel (x) tel que
On voit que le produit scalaire de f(x) par son integrale est positif.
Or ce produit scalaire vaut
2 cas sont à envisager.
1er cas : l'intégrale de f est nulle, f est donc nulle et le résultat est trivial.
2e cas : cette integrale est non nulle et on déduit que pour tout x,
Ainsi, on voit clairement que cette fonction est continue et positive (donc de signe constant)

Il ne reste plus que la réciproque à faire ce qui n'es pas très difficile.

Kaiser

P.S : je croyais que j'en verrais jamais le bout!!