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Exercice fonctions de références
Bonjour !
J'ai un exercice de DM pour les vacances. J'ai déjà bien avancé, il est très long et je suis un peu bloquée vers la question 2)a).
Pourriez vous m'aider s'il vous plais ?
Voici l'énoncé et les questions (je met mes réponses aussi, mais normalement j'ai bon) :
0n essaie une fusée du haut d'un immeuble de 20 mètres, et on étudie sa trajectoire.
On note t le temps de secondes et h(t) la hauteur en mètres de la fusée en fonction du temps. On a h(t) = -30t² + 60t + 20.
1)a) Démontrer que h(t) = -30(t-1)² + 50
J'ai fais :
Soit A = -30(t-1)² + 50
A = -30(t-1)(t-1) + 50
A = -30(t² - 2t + 1) + 50
A = -30t² + 60t + (-30) + 50
A = -30t² + 60t + 20
h(t) = -30(t-1)² + 50
b) Démontrer que h(t) 
50 pour tout t.
J'ai fais :
(t-1)² est une fonction positive car elle est au carré.
Si on multiplie par un négatif, ici -30, la fonction -30(t-1)² devient négative.
0n ajoute donc 50 à un négatif.
h(t) 50
c)En déduire que h admet un maximum en précisant la valeur de h correspondante.
J'ai fais :
Le maximum est attein quand on ne retranche rien à 50, c'est à dire pour t-1 = 0 donc pour t = 1.
Le maximum est donc h(1) = 50
d) Etudier les variations de h pour h appartenant à [0 ; 2,3].
J'ai fais :
Soient t1 < t2 dans [0 ; 1]
0 < t1 < t2 < 1
-1 < t1-1 < t2-1 < 0
(La fonction qui à t associe t-1 est croissante sur [0 ; 1]).
1 > (t1-1)² > (t2-1)² > 0
(La fonction carré est décroissante sur [-1 ; 0]).
0 < (t2-1)² < (t1-1)² < 1
0 > -30(t2-1)² > -30(t1-1)² > -30
-30 < -30(t1-1)² < -30(t2-1)² < 0
20 < h(t1) < h(t2) < 50
(La fonction qui à t associe -30t + 50 est croissante sur [0 ; 1].
Soient t1 et t2 dans [1 ; +
[
1 < t1 < t2
0 < t1-1 < t2- 1
0 < (t1-1)² < (t2-1)²
-30(t2-1)² < -30(t1-1)² < 0
-30(t2-1)² + 50 < -30(t1-1)² + 50 < 50
La fonction est donc décroissante sur [1 ; +[
Dans l'intervalle [0 ; 2,3], h(t) est d'abord croissante sur [0 ; 1] puis décroissante sur [1 ; 2,3].
2)a) Faire le tableau de variation de h.
J'ai fais un tableau de variation avec une flèche qui monte de - jusqu'à 1 et une flèche qui descend de 1 jusqu'à +.
b) Remplir le tableau suivant (en gras mes réponses) :
t (s) 0 0,25 0,5 1 1,5 2 1,2 3
h(t) (m) 20 33, 125 42,5 50 42,5 20 -17,5 -70
c)Représenter la fonction H sur un graphique pour t appartenant à [0 ; 2,3] (on prendra 2cm pour 0,25 seconde et 0,5cm pour 1 mètre de hauteur).
Je l'ai fais et je pense que j'ai bon.
3)a) Que constatez-vous pour pour h(t) en 2,3 ?
Trouver avec votre calculatrice un nombre t0 tel que 0 h(t0) 10-1
J'ai fais :
Je constate qu'en 2,3, h(t) est négative.
Mais la deuxième question je ne comprend pas, pouvez vous m'expliquer s'il vous plais ?
b) Montrer que h(t) = -30[(t-1)²-a²] où a est un nombre à déterminer.
Cette question non plus je ne comprend pas...
Je mettrais les autres questions au fur et à mesure de ce que j'arriverais à faire, mais pouvez vous m'aider pour les deux dernières ?
Merci d'avance,
Itomie.
Bonjour,
Tes résultats sont bons mais juste une petite réflexion sur la 2a), la fonction que tu étudies est en fonction du temps et le temps est toujours positif! alors fait attention à ne mettre dans ton tableau de variation que l'étude pour les t positifs!
Pour la 3)a) tu as vu que h(2,3) = -0,7, on cherche un t0 tel que 0 h(t0)10-1. Tu vois bien que pour t=2,3 ça ne fonctionne pas et tu sais que h est décroissante alors il faut que tu essaies grace à la calculatrice d'autres valeurs pour t, c'est à dire h(2,2)=6,8 donc 2,2 ne marche pas et le t0 cherché est entre 2,2 et 2,3 alors on essaie 2,25 par exemple et il faut tester jusqu'a trouver un chiffre t0 tel que h(t0) soit compris entre 0 et 0,1.
Pour la 3)b) tu dois faire comme pour la 1)a), dévelloppe -30[(t-1)²-a²] et tu le compares à h(t) et la tu vas trouver une valeur pour a.
Bonjour, pour le début, tout a l'air juste !
En question 1)d) tu aurais pu dériver la fonction et étudier le signe de sa dérivée pour en déduire le sens de variation de h !
En question 3)a) on te demande de trouver un t0 tel que h(t0) soit compris entre 0 et 0,1, par exemple pour t0=2,29
b) Développe ton expression h(t) = -30[(t-1)²-a²] et essaye de retrouver a par identification avec une autre expression de h
Merci beaucoup, pour le nombre t0 je trouve h(2,29) = 0,077
Pour le 3)b) je fais :
Soit B = -30[(t-1)²-a²]
B = -30[(t-1)(t-1)-a²]
B = -30 [(t²-2t+1)-a²]
B = -30 (-a²+t²-2t+1)
B = 30a² - 30t² + 60t - 30
Et la faut il déterminer a ?
Car pour le trouver je fais :
x - 30 = 20
x = 10
donc je fais 30
a = 10
Ensuite 10/30 = 0,333333...
Donc 0,3333333... = 0,5773502692 ect
Je pense pas avoir la bonne réponse...
Tu as trouvé h(t) = 30a² - 30t² + 60t - 30 or tu sais que h(t) = -30t² + 60t + 20.
donc par identification -30+30a²=20 ok ? 30a²=50 et a=(5/3)
D'accord, merci j'ai pu comprendre.
La question 3)c) est la suivante :
A partir de la question précédente, prouver que h(t) = -30[(t-1-a)(t-1+a)]
Puis-je écrire que par la factorisation avec X² - Y² = (X-Y)(X+Y) et ici se serais avec X = (t-1) et Y = a ?
Et la question d) est Résoudre dans 
, h(t) = 0.
Dois-je faire -30[(t-1-(3/5))(t-1+(5/3))] = 0 ?
Pour la question c, oui tout simplement !
Pour la question d, oui aussi, et tu résout cela en disant qu'un produit de facteur est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul 
Les réponses de la d) son bien celles ci ? ;
t-1-(5/3) = 0
t = (5/3)+1
et
t-1+(5/3) = 0
t = -1-(5/3)
Pour la question e) qui est : En déduire le temps T nécessaire à la fusée pour qu'elle touche le sol à 10-3 près.
Je pense que se sera (5/3) + 1 c'est à dire 2,290 secondes ?
Et la question 4) (la dernière !!)
Recopier et compléter : ... < h(0,4) < ...
h(...) < 19 < h(...)
Pour la première j'ai mis 39 < h(0,4)< 40
Et la seconde j'ai mis h(...) < 19 < h(0)mais pour le premier trou je en vois pas trop quoi mettre, peut être -0,1 ?
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