ABCDEFGH est le cube d'arête 1. L'espace est rapporté au repère orthonormal (A,AB, AD, AE) (en vecteurs)
Pour tout nombre réél k, on définit deux points Mk et Nk ainsi qu'un plan Pk de la façon suivante.
Mk est le point de la droite (AG) tel que AMk = kAG en vecteur
Pk est le plan passant par Mk et parallèle au plan (BDE)
Nk est le point d'intersection du plan Pk et de la droite (BC).

1. Pour P(1/3) je sais qu'il s'agit du plan (BDE)et pour N(1/3) du point B.

2.a.Calculer les coordonnées de Mk dans le repère ( A, AB, AD, AE) en vecteurs

b.Déterminer une équation du paln Pk dans ce repère.

c.En déduire que le point Nk a pour coordonnées (1, 3k-1, 0)

3. Pour quelles valeurs de k la droite (MkNk) est elle orthogonale à la fois aux droites (Ag) et (BC)?

4.Pour quelles valeurs de k la distance MkNk est elle minimale?

D'après les annales Bac 2007.