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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier)

Posté par
Kernelpanic
20-09-19 à 19:35

Bonsoir,

je suis sur de l'algèbre depuis 10h ce matin et je commence sérieusement à disjoncter, je ne comprends presque plus rien, une pause s'impose. Néanmoins, je veux comprendre la correction d'un exercice, qui m'est incompréhensible. Je poste la partie concernée :

"Soit p un nombre premier. Soit G un groupe d'ordre p^3.

On suppose que G ne possède pas d'éléments d'ordre p^3, mais au moins un élément x d'ordre p². On pose H = <x> isomorphe à Z/p²Z.

On suppose qu'en dehors de H, tous les éléments de G sont d'ordre p². Comme H est cyclique d'ordre p², il y a p(p-1) (indicatrice d'Euler) générateurs de H et donc p(p-1) éléments d'ordre p² dans H. On déduit que le nombre d'éléments d'ordre p² dans G est p^3 - p² + p(p-1) = p^3 - p. Par conséquent, G contient p-1 éléments d'ordre p. Mais l'application

\psi : G \to G \\ ~~~~~a \to a^p

est un morphisme (comme G est abélien) qui envoit les éléments d'ordre p² sur les éléments d'ordre p.

C'EST LA PARTIE SUIVANTE QUE JE NE COMPRENDS PAS :

Ainsi un élément d'ordre p doit avoir \dfrac{p^3-p}{p-1} = p(p+1) antécédants par psi. Mais tous les éléments de l'image de psi ont le même nombre d'antécédents, qui est égal au cardinal du noyau psi, qui est ici p, d'où contradiction."

Je ne comprends pas d'où vient le nombre (p^3-p)/(p-1) même si je vois que c'est le cardinal de l'ensemble des éléments d'ordre p² sur le cardinal des éléments d'ordre p, mais surtout pourquoi tout élément d'ordre p DOIT avoir ce nombre d'antécédents... Le morphisme restreint aux éléments d'ordre p² est injectif ? Je ne comprends plus rien...

Merci d'éclairer ma lanterne...

Posté par
Kernelpanic
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 20-09-19 à 20:05

Déjà antécédents pour me corriger, ensuite ce que je ne comprends pas c'est pourquoi c'est le nombre exact pour chaque éléments d'ordre p ? Pourquoi c'est toujours le même nombre et par par exemple 1 antécédent pour un certain éléments, 5 antécédents pour un autre etc...

Posté par
Kernelpanic
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 20-09-19 à 21:21

Laissez tomber, je demanderai de l'aide à un ami plus tard.
Bonne soirée.

Posté par
ThierryPoma
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 20-09-19 à 22:37

Bonsoir,

N'a-t-on pas ceci, tout simplement ?

p^3-p=p\,(p-1)\,(p+1)

Comme p-1 est le cardinal du sous ensemble de G constitué des éléments d'ordre p, et que p^3-p est celui du sous-ensemble constitué des éléments d'ordre p^2, il n'est donc pas difficile de déterminer le cardinal de la fibre \psi^{-1}(\{u\}) de \psi au dessus de u, où u est d'ordre p.

Posté par
Kernelpanic
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 21-09-19 à 09:53

Bonjour ThierryPoma,

il n'est pas intuitif pour moi de voir pourquoi chaque élément d'ordre p possède tous le même nombre d'antécédents. Quel est l'argument qui peut réfuter le fait qu'un élément d'ordre p puisse avoir par exemple 3 antécédents par psi, puis un autre 5 ? C'est ça qui me bloque...

Posté par
mokassin
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 21-09-19 à 10:20

Si f est un morphisme de groupe alors chaque f^{-1}(y) a le meme nombre d'element que le noyau s'il n'est pas vide.

Posté par
Kernelpanic
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 21-09-19 à 10:31

Cela vient du premier théorème d'isomorphisme ? Comment le démontrer ?

Posté par
mokassin
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 21-09-19 à 10:33

Ben tu prend x qui s'envoie sur y et te remarque que f^{-1}(y) c'est x.ker(f).

Posté par
Kernelpanic
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 21-09-19 à 10:45

D'accord, très bien. En gros pour résumer, il faut dire que tout élément de psi a le même nombre d'antécédents qui est égal au nombre d'élements dans le noyau, c'est-à-dire p dans notre cas. Comme on remarque que l'image de l'ensemble des éléments d'ordre p² est égal à l'ensemble des éléments d'ordre p, alors par la remarque ci-dessus sur le même nombre d'antécédents, nécessairement chaque élément d'ordre p admet p(p+1) antécédents par psi, d'où la contradiction.

Est-ce bien ça ?

Posté par
Kernelpanic
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 21-09-19 à 10:45

tout élément de l'image de psi *

Posté par
Kernelpanic
re : Exercice groupe abélien d'ordre p^3 (p premier) 21-09-19 à 14:52

J'ai résolu le problème.
Sujet clos.



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