Bonsoir,
je suis sur de l'algèbre depuis 10h ce matin et je commence sérieusement à disjoncter, je ne comprends presque plus rien, une pause s'impose. Néanmoins, je veux comprendre la correction d'un exercice, qui m'est incompréhensible. Je poste la partie concernée :
"Soit p un nombre premier. Soit G un groupe d'ordre p^3.
On suppose que G ne possède pas d'éléments d'ordre p^3, mais au moins un élément x d'ordre p². On pose H = <x> isomorphe à Z/p²Z.
On suppose qu'en dehors de H, tous les éléments de G sont d'ordre p². Comme H est cyclique d'ordre p², il y a p(p-1) (indicatrice d'Euler) générateurs de H et donc p(p-1) éléments d'ordre p² dans H. On déduit que le nombre d'éléments d'ordre p² dans G est p^3 - p² + p(p-1) = p^3 - p. Par conséquent, G contient p-1 éléments d'ordre p. Mais l'application
est un morphisme (comme G est abélien) qui envoit les éléments d'ordre p² sur les éléments d'ordre p.
C'EST LA PARTIE SUIVANTE QUE JE NE COMPRENDS PAS :
Ainsi un élément d'ordre p doit avoir antécédants par psi. Mais tous les éléments de l'image de psi ont le même nombre d'antécédents, qui est égal au cardinal du noyau psi, qui est ici p, d'où contradiction."
Je ne comprends pas d'où vient le nombre (p^3-p)/(p-1) même si je vois que c'est le cardinal de l'ensemble des éléments d'ordre p² sur le cardinal des éléments d'ordre p, mais surtout pourquoi tout élément d'ordre p DOIT avoir ce nombre d'antécédents... Le morphisme restreint aux éléments d'ordre p² est injectif ? Je ne comprends plus rien...
Merci d'éclairer ma lanterne...
Déjà antécédents pour me corriger, ensuite ce que je ne comprends pas c'est pourquoi c'est le nombre exact pour chaque éléments d'ordre p ? Pourquoi c'est toujours le même nombre et par par exemple 1 antécédent pour un certain éléments, 5 antécédents pour un autre etc...
Bonsoir,
N'a-t-on pas ceci, tout simplement ?
Comme est le cardinal du sous ensemble de
constitué des éléments d'ordre
, et que
est celui du sous-ensemble constitué des éléments d'ordre
, il n'est donc pas difficile de déterminer le cardinal de la fibre
de
au dessus de
, où
est d'ordre
.
Bonjour ThierryPoma,
il n'est pas intuitif pour moi de voir pourquoi chaque élément d'ordre p possède tous le même nombre d'antécédents. Quel est l'argument qui peut réfuter le fait qu'un élément d'ordre p puisse avoir par exemple 3 antécédents par psi, puis un autre 5 ? C'est ça qui me bloque...
Si f est un morphisme de groupe alors chaque f^{-1}(y) a le meme nombre d'element que le noyau s'il n'est pas vide.
D'accord, très bien. En gros pour résumer, il faut dire que tout élément de psi a le même nombre d'antécédents qui est égal au nombre d'élements dans le noyau, c'est-à-dire p dans notre cas. Comme on remarque que l'image de l'ensemble des éléments d'ordre p² est égal à l'ensemble des éléments d'ordre p, alors par la remarque ci-dessus sur le même nombre d'antécédents, nécessairement chaque élément d'ordre p admet p(p+1) antécédents par psi, d'où la contradiction.
Est-ce bien ça ?
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